Номер 38.36, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение, если известно, что $|x| < 1:$

38.36. a) $x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n + ... = 4;$

б) $2x - 4x^2 + 8x^3 - 16x^4 + ... = \frac{3}{8}$

а) $x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots + x^n + \dots = 4$

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{x^2}{x} = x$.

По условию $|x| < 1$, следовательно, прогрессия является сходящейся (бесконечно убывающей), и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

В данном случае сумма $S = 4$, первый член $b_1 = x$ и знаменатель $q = x$. Подставим эти значения в формулу:

$\frac{x}{1 - x} = 4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = 4(1 - x)$

$x = 4 - 4x$

$x + 4x = 4$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию $|x| < 1$:

$|\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}$, и так как $\frac{4}{5} < 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{4}{5}$.

б) $2x - 4x^2 + 8x^3 - 16x^4 + \dots = \frac{3}{8}$

Левая часть этого уравнения также является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии. Найдем ее первый член и знаменатель.

Первый член $b_1 = 2x$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{-4x^2}{2x} = -2x$.

Сумма этой прогрессии существует, если выполняется условие сходимости $|q| < 1$, то есть $|-2x| < 1$.

$|-2| \cdot |x| < 1$

$2|x| < 1$

$|x| < \frac{1}{2}$

Это условие является более строгим, чем исходное условие задачи ($|x|<1$). Найденное решение должно удовлетворять именно условию $|x| < \frac{1}{2}$.

Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

В данном случае сумма $S = \frac{3}{8}$, первый член $b_1 = 2x$ и знаменатель $q = -2x$. Подставим эти значения в формулу:

$\frac{2x}{1 - (-2x)} = \frac{3}{8}$

$\frac{2x}{1 + 2x} = \frac{3}{8}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции:

$8 \cdot (2x) = 3 \cdot (1 + 2x)$

$16x = 3 + 6x$

$16x - 6x = 3$

$10x = 3$

$x = \frac{3}{10}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x$ условию сходимости ряда $|x| < \frac{1}{2}$:

$|\frac{3}{10}| = \frac{3}{10}$. Так как $\frac{3}{10} = 0.3$, а $\frac{1}{2} = 0.5$, то $0.3 < 0.5$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{3}{10}$.