Номер 38.30, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.30. a) Найти геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна 24, а сумма первых трёх членов равна 21.

б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что её сумма равна 31,25, а сумма первых трёх членов равна 31.

а)

Пусть $b_1$ — первый член искомой геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Поскольку у прогрессии существует конечная сумма, она является бесконечно убывающей, а значит, её знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ определяется формулой:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ определяется формулой:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Согласно условию задачи, мы имеем систему из двух уравнений:

1. Сумма прогрессии равна 24: $S = \frac{b_1}{1-q} = 24$.

2. Сумма первых трёх членов равна 21: $S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 21$.

Мы можем переписать второе уравнение, используя первое. Заметим, что $S_3 = S \cdot (1-q^3)$. Подставим известное значение $S = 24$:

$24 \cdot (1-q^3) = 21$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $q$:

$1-q^3 = \frac{21}{24}$

$1-q^3 = \frac{7}{8}$

$q^3 = 1 - \frac{7}{8}$

$q^3 = \frac{1}{8}$

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Значение $q = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Теперь, используя первое уравнение, найдем $b_1$:

$b_1 = S \cdot (1-q) = 24 \cdot (1 - \frac{1}{2}) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$

Таким образом, мы определили геометрическую прогрессию: её первый член равен 12, а знаменатель равен 1/2. Последовательность её членов: 12, 6, 3, ...

Ответ: Первый член прогрессии $b_1 = 12$, знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

б)

Действуем аналогично пункту а). Пусть $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии ($|q| < 1$).

Из условия имеем систему уравнений:

1. Сумма прогрессии равна 31,25: $S = \frac{b_1}{1-q} = 31,25 = \frac{125}{4}$.

2. Сумма первых трёх членов равна 31: $S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 31$.

Подставим $S$ из первого уравнения в выражение для $S_3 = S \cdot (1-q^3)$:

$\frac{125}{4} \cdot (1-q^3) = 31$

Решим уравнение для нахождения $q$:

$1-q^3 = 31 \cdot \frac{4}{125}$

$1-q^3 = \frac{124}{125}$

$q^3 = 1 - \frac{124}{125}$

$q^3 = \frac{1}{125}$

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$

Теперь найдем первый член $b_1$:

$b_1 = S \cdot (1-q) = \frac{125}{4} \cdot (1 - \frac{1}{5}) = \frac{125}{4} \cdot \frac{4}{5} = 25$

Задача требует найти седьмой член прогрессии, $b_7$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=7$ имеем:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

Подставим найденные значения $b_1 = 25$ и $q = \frac{1}{5}$:

$b_7 = 25 \cdot (\frac{1}{5})^6 = 5^2 \cdot \frac{1}{5^6} = \frac{5^2}{5^6} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$

Ответ: $b_7 = \frac{1}{625}$.