Номер 38.25, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.25. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $S = 2, b_1 = 3;$

б) $S = -10, b_1 = -5;$

в) $S = -\frac{9}{4}, b_1 = -3;$

г) $S = 1,5, b_1 = 2.$

а)

Для нахождения знаменателя $q$ геометрической прогрессии, зная её сумму $S$ и первый член $b_1$, используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Эта формула применима при условии, что $|q| < 1$.
Выразим из этой формулы знаменатель $q$:
$S \cdot (1 - q) = b_1$
$1 - q = \frac{b_1}{S}$
$q = 1 - \frac{b_1}{S}$
Теперь подставим заданные значения $S = 2$ и $b_1 = 3$:
$q = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:
$|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$, что меньше 1. Условие выполняется.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б)

Воспользуемся выведенной формулой $q = 1 - \frac{b_1}{S}$.
Подставим известные значения $S = -10$ и $b_1 = -5$:
$q = 1 - \frac{-5}{-10} = 1 - \frac{5}{10} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Проверим условие $|q| < 1$:
$|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Условие выполняется.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в)

Воспользуемся формулой $q = 1 - \frac{b_1}{S}$.
Подставим известные значения $S = -\frac{9}{4}$ и $b_1 = -3$:
$q = 1 - \frac{-3}{-\frac{9}{4}} = 1 - (3 \div \frac{9}{4}) = 1 - (3 \cdot \frac{4}{9}) = 1 - \frac{12}{9} = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$
Проверим условие $|q| < 1$:
$|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

г)

Воспользуемся формулой $q = 1 - \frac{b_1}{S}$.
Подставим известные значения $S = 1,5$ и $b_1 = 2$. Представим $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$q = 1 - \frac{2}{1,5} = 1 - \frac{2}{\frac{3}{2}} = 1 - (2 \cdot \frac{2}{3}) = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$
Проверим условие $|q| < 1$:
$|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.