Номер 38.19, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.19. а) $x_n = \frac{(2n + 1)(3n - 4) - 6n^2 + 12n}{n + 5}$;

б) $x_n = \frac{n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13}{n(n + 1)(n - 7) + 1 - n}$;

в) $x_n = \frac{(1 - n)(n^2 + 1) + n^3}{n^2 + 2n}$;

г) $x_n = \frac{n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1}{(n + 1)(n + 2) + 2n^2 + 1}$.

а)

Дано выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{(2n + 1)(3n - 4) - 6n^2 + 12n}{n + 5}$

Для упрощения выражения, сначала раскроем скобки в числителе:

$(2n + 1)(3n - 4) = 2n \cdot 3n - 2n \cdot 4 + 1 \cdot 3n - 1 \cdot 4 = 6n^2 - 8n + 3n - 4 = 6n^2 - 5n - 4$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в числитель и приведем подобные слагаемые:

$(6n^2 - 5n - 4) - 6n^2 + 12n = (6n^2 - 6n^2) + (-5n + 12n) - 4 = 7n - 4$.

Таким образом, выражение для $x_n$ принимает вид:

$x_n = \frac{7n - 4}{n + 5}$.

Ответ: $x_n = \frac{7n - 4}{n + 5}$.

б)

Дано выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13}{n(n + 1)(n - 7) + 1 - n}$

Упростим числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13 = 2n^3 + 5n^2 - 2n^3 + 5n^2 - 13 = (2n^3 - 2n^3) + (5n^2 + 5n^2) - 13 = 10n^2 - 13$.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n(n + 1)(n - 7) + 1 - n = n(n^2 - 7n + n - 7) + 1 - n = n(n^2 - 6n - 7) + 1 - n = n^3 - 6n^2 - 7n + 1 - n = n^3 - 6n^2 - 8n + 1$.

В результате получаем упрощенное выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{10n^2 - 13}{n^3 - 6n^2 - 8n + 1}$.

Ответ: $x_n = \frac{10n^2 - 13}{n^3 - 6n^2 - 8n + 1}$.

в)

Дано выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{(1 - n)(n^2 + 1) + n^3}{n^2 + 2n}$

Упростим числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(1 - n)(n^2 + 1) + n^3 = (1 \cdot n^2 + 1 \cdot 1 - n \cdot n^2 - n \cdot 1) + n^3 = (n^2 + 1 - n^3 - n) + n^3 = n^2 - n + 1$.

Упростим знаменатель, вынеся общий множитель за скобки:

$n^2 + 2n = n(n + 2)$.

Тогда выражение для $x_n$ будет иметь вид:

$x_n = \frac{n^2 - n + 1}{n(n + 2)}$.

Ответ: $x_n = \frac{n^2 - n + 1}{n(n + 2)}$.

г)

Дано выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1}{(n + 1)(n + 2) + 2n^2 + 1}$

Упростим числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1 = 7n - n^3 + n^3 - 3n - 1 = (-n^3 + n^3) + (7n - 3n) - 1 = 4n - 1$.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(n + 1)(n + 2) + 2n^2 + 1 = (n^2 + 2n + n + 2) + 2n^2 + 1 = (n^2 + 3n + 2) + 2n^2 + 1 = 3n^2 + 3n + 3 = 3(n^2 + n + 1)$.

В результате получаем упрощенное выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{4n - 1}{3(n^2 + n + 1)}$.

Ответ: $x_n = \frac{4n - 1}{3(n^2 + n + 1)}$.