Номер 38.14, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.14. a) $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3};$

Б) $x_n = 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}};$

В) $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4};$

Г) $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} - 4 + \frac{7}{n^2}.$

а) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3}$, нужно вычислить $\lim_{n \to \infty} x_n$.

Используя свойство предела суммы, которое гласит, что предел суммы равен сумме пределов, получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3}$.

Далее воспользуемся известным фактом, что предел вида $\lim_{n \to \infty} \frac{c}{n^p}$ равен нулю при любом постоянном $c$ и $p > 0$.

Для каждого слагаемого имеем:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} = 0$ (здесь $p=1 > 0$)
• $\lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^{1/2}} = 0$ (здесь $p=1/2 > 0$)
• $\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3} = 0$ (здесь $p=3 > 0$)

Складывая эти пределы, получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: 0

б) Найдем предел последовательности $x_n = 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}}$.

Применим свойство предела разности:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} 6 - \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} - \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} - \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}}$.

Предел постоянной величины равен самой этой величине: $\lim_{n \to \infty} 6 = 6$.

Пределы остальных слагаемых равны нулю, так как $n$ в знаменателе находится в положительной степени:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 0$

Таким образом, предел последовательности равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 6 - 0 - 0 - 0 = 6$.

Ответ: 6

в) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4}$.

По свойству линейности предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} - \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4}$.

Каждое слагаемое является дробью с константой в числителе и $n$ в положительной степени в знаменателе. Предел каждого такого слагаемого при $n \to \infty$ равен 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4} = 0$.

Следовательно, итоговый предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 + 0 - 0 + 0 = 0$.

Ответ: 0

г) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} - 4 + \frac{7}{n^2}$.

Для удобства перегруппируем члены: $x_n = -4 + \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n^2}$.

Применим свойство предела суммы:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( -4 + \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} (-4) + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2}$.

Предел константы равен самой константе: $\lim_{n \to \infty} (-4) = -4$.

Пределы остальных слагаемых, как и в предыдущих пунктах, равны нулю:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$

В результате получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = -4 + 0 + 0 + 0 = -4$.

Ответ: -4