Номер 38.15, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.15. a) $x_n = \frac{5}{2^n};$

б) $x_n = \frac{1}{2} \cdot 5^{-n};$

В) $x_n = 7 \cdot 3^{-n};$

Г) $x_n = \frac{4}{3^{n+1}}.$

а)

Дана последовательность $x_n = \frac{5}{2^n}$. Чтобы определить, является ли она геометрической прогрессией, найдем отношение ее $(n+1)$-го члена к $n$-му члену. Это отношение должно быть постоянной величиной (знаменателем прогрессии $q$).

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$x_{n+1} = \frac{5}{2^{n+1}}$

Теперь вычислим отношение $q = \frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$q = \frac{\frac{5}{2^{n+1}}}{\frac{5}{2^n}} = \frac{5}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{5} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^n \cdot 2} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношение $q = \frac{1}{2}$ является константой, не зависящей от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем ее первый член, подставив $n=1$ в исходную формулу:

$x_1 = \frac{5}{2^1} = \frac{5}{2}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = \frac{5}{2}$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

б)

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $x_n = \frac{1}{2} \cdot 5^{-n}$. Преобразуем выражение: $x_n = \frac{1}{2 \cdot 5^n}$.

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Для этого найдем отношение $q = \frac{x_{n+1}}{x_n}$.

$(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = \frac{1}{2} \cdot 5^{-(n+1)} = \frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}}$.

Найдем знаменатель $q$:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}}}{\frac{1}{2 \cdot 5^n}} = \frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{2 \cdot 5^n}{1} = \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}$.

Так как $q = \frac{1}{5}$ — постоянная величина, последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем ее первый член при $n=1$:

$x_1 = \frac{1}{2} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = \frac{1}{10}$ и знаменателем $q = \frac{1}{5}$.

в)

Дана последовательность $x_n = 7 \cdot 3^{-n}$. Это можно записать как $x_n = \frac{7}{3^n}$.

Чтобы доказать, что это геометрическая прогрессия, найдем отношение $q = \frac{x_{n+1}}{x_n}$.

$(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 7 \cdot 3^{-(n+1)} = \frac{7}{3^{n+1}}$.

Вычислим знаменатель $q$:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{7}{3^{n+1}}}{\frac{7}{3^n}} = \frac{7}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{7} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}$.

Поскольку $q = \frac{1}{3}$ является постоянной величиной, последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем первый член последовательности при $n=1$:

$x_1 = 7 \cdot 3^{-1} = \frac{7}{3}$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = \frac{7}{3}$ и знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

г)

Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{4}{3^{n+1}}$.

Проверим, является ли она геометрической прогрессией, найдя отношение $q = \frac{x_{n+1}}{x_n}$.

$(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = \frac{4}{3^{(n+1)+1}} = \frac{4}{3^{n+2}}$.

Найдем знаменатель $q$:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{4}{3^{n+2}}}{\frac{4}{3^{n+1}}} = \frac{4}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{4} = \frac{3^{n+1}}{3^{n+2}} = \frac{1}{3}$.

Так как $q = \frac{1}{3}$ — постоянное число, последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии при $n=1$:

$x_1 = \frac{4}{3^{1+1}} = \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9}$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = \frac{4}{9}$ и знаменателем $q = \frac{1}{3}$.