Номер 38.9, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.9. а) $y_n = 2 + (-1)^n \frac{1}{n}$;

б) $y_n = (-1)^n 2 + \frac{1}{n}$;

В) $y_n = -3 + (-1)^n \frac{2}{n}$;

Г) $y_n = (-1)^{n+1} \cdot 3 - \frac{2}{n}$.

а)

Рассмотрим последовательность $y_n = 2 + (-1)^n\frac{1}{n}$. Для исследования её сходимости найдём пределы её подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров $n$.

1. Пусть $n = 2k$ (чётные номера), где $k \in \mathbb{N}$. Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k} = 2 + (-1)^{2k}\frac{1}{2k} = 2 + 1 \cdot \frac{1}{2k} = 2 + \frac{1}{2k}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$ (что эквивалентно $n \to \infty$):
$\lim_{k \to \infty} y_{2k} = \lim_{k \to \infty} (2 + \frac{1}{2k}) = 2 + 0 = 2$.

2. Пусть $n = 2k-1$ (нечётные номера), где $k \in \mathbb{N}$. Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k-1} = 2 + (-1)^{2k-1}\frac{1}{2k-1} = 2 + (-1) \cdot \frac{1}{2k-1} = 2 - \frac{1}{2k-1}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} (2 - \frac{1}{2k-1}) = 2 - 0 = 2$.

Так как пределы подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров совпадают и равны 2, то исходная последовательность сходится, и её предел равен 2.

Ответ: последовательность сходится, $\lim_{n \to \infty} y_n = 2$.

б)

Рассмотрим последовательность $y_n = (-1)^n 2 + \frac{1}{n}$. Для исследования её сходимости найдём пределы её подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров $n$.

1. Пусть $n = 2k$ (чётные номера). Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k} = (-1)^{2k} 2 + \frac{1}{2k} = 1 \cdot 2 + \frac{1}{2k} = 2 + \frac{1}{2k}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k} = \lim_{k \to \infty} (2 + \frac{1}{2k}) = 2 + 0 = 2$.

2. Пусть $n = 2k-1$ (нечётные номера). Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k-1} = (-1)^{2k-1} 2 + \frac{1}{2k-1} = (-1) \cdot 2 + \frac{1}{2k-1} = -2 + \frac{1}{2k-1}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} (-2 + \frac{1}{2k-1}) = -2 + 0 = -2$.

Так как существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам (2 и -2), исходная последовательность не имеет предела, то есть расходится. Числа 2 и -2 являются её частичными пределами.

Ответ: последовательность расходится, её частичные пределы равны 2 и -2.

в)

Рассмотрим последовательность $y_n = -3 + (-1)^n \frac{2}{n}$. Для исследования её сходимости найдём пределы её подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров $n$.

1. Пусть $n = 2k$ (чётные номера). Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k} = -3 + (-1)^{2k} \frac{2}{2k} = -3 + 1 \cdot \frac{1}{k} = -3 + \frac{1}{k}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k} = \lim_{k \to \infty} (-3 + \frac{1}{k}) = -3 + 0 = -3$.

2. Пусть $n = 2k-1$ (нечётные номера). Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k-1} = -3 + (-1)^{2k-1} \frac{2}{2k-1} = -3 + (-1) \cdot \frac{2}{2k-1} = -3 - \frac{2}{2k-1}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} (-3 - \frac{2}{2k-1}) = -3 - 0 = -3$.

Так как пределы подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров совпадают и равны -3, то исходная последовательность сходится, и её предел равен -3.

Ответ: последовательность сходится, $\lim_{n \to \infty} y_n = -3$.

г)

Рассмотрим последовательность $y_n = (-1)^{n+1} \cdot 3 - \frac{2}{n}$. Для исследования её сходимости найдём пределы её подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров $n$.

1. Пусть $n = 2k$ (чётные номера). Тогда $n+1 = 2k+1$ (нечётное). Подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k} = (-1)^{2k+1} \cdot 3 - \frac{2}{2k} = (-1) \cdot 3 - \frac{1}{k} = -3 - \frac{1}{k}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k} = \lim_{k \to \infty} (-3 - \frac{1}{k}) = -3 - 0 = -3$.

2. Пусть $n = 2k-1$ (нечётные номера). Тогда $n+1 = 2k$ (чётное). Подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k-1} = (-1)^{(2k-1)+1} \cdot 3 - \frac{2}{2k-1} = (-1)^{2k} \cdot 3 - \frac{2}{2k-1} = 1 \cdot 3 - \frac{2}{2k-1} = 3 - \frac{2}{2k-1}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} (3 - \frac{2}{2k-1}) = 3 - 0 = 3$.

Так как существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам (3 и -3), исходная последовательность не имеет предела, то есть расходится. Числа 3 и -3 являются её частичными пределами.

Ответ: последовательность расходится, её частичные пределы равны 3 и -3.