Номер 38.13, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.13. a) $x_n = \frac{5}{n^2}$;

б) $x_n = \frac{-17}{n^3}$;

В) $x_n = \frac{-15}{n^2}$;

Г) $x_n = \frac{3}{\sqrt{n}}$.

а) Дана последовательность $x_n = \frac{5}{n^2}$.

Для нахождения предела данной последовательности при $n \to \infty$, воспользуемся основным свойством пределов. Мы можем вынести константу за знак предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$

Поскольку при $n \to \infty$ знаменатель $n^2$ также стремится к бесконечности, то значение дроби $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю. Таким образом, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$.

Подставляя это значение обратно, получаем:

$5 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0.

б) Дана последовательность $x_n = \frac{-17}{n^3}$.

Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Вынесем константу $-17$ за знак предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-17}{n^3} = -17 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3}$

Так как знаменатель $n^3$ неограниченно возрастает при $n \to \infty$, то обратная ему величина $\frac{1}{n^3}$ стремится к нулю. То есть, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} = 0$.

Следовательно, предел последовательности равен:

$-17 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0.

в) Дана последовательность $x_n = \frac{-15}{n^2}$.

Для нахождения предела последовательности при $n \to \infty$, применим свойство вынесения константы за знак предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-15}{n^2} = -15 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$

Знаменатель $n^2$ стремится к бесконечности при $n \to \infty$, поэтому дробь $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю. Мы знаем, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$.

Тогда искомый предел равен:

$-15 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0.

г) Дана последовательность $x_n = \frac{3}{\sqrt{n}}$.

Найдем предел этой последовательности, когда $n$ стремится к бесконечности. Вынесем множитель 3 за знак предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$

Так как $\sqrt{n}$ неограниченно возрастает при $n \to \infty$, то величина $\frac{1}{\sqrt{n}}$ стремится к нулю. Формально, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$.

Таким образом, предел всей последовательности равен:

$3 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0.