Номер 38.6, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.6. a) $x_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $a = 0$, $r = \frac{1}{27}$;

б) $x_n = (-1)^n \frac{1}{2^n}$, $a = 0$, $r = \frac{1}{64}$;

В) $x_n = 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$, $a = 2$, $r = \frac{1}{128}$;

Г) $x_n = 3 - \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $a = 3$, $r = \frac{1}{81}$.

а)

По условию, требуется найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется неравенство $|x_n - a| < r$. Подставим в него заданные значения $x_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $a = 0$ и $r = \frac{1}{27}$:

$|\left(\frac{1}{3}\right)^n - 0| < \frac{1}{27}$

Упростим выражение в левой части:

$|\left(\frac{1}{3}\right)^n| < \frac{1}{27}$

Так как для любого натурального $n$ выражение $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ всегда положительно, знак модуля можно убрать:

$\left(\frac{1}{3}\right)^n < \frac{1}{27}$

Представим правую часть неравенства как степень с основанием $\frac{1}{3}$. Поскольку $27 = 3^3$, получаем $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$.

Неравенство принимает вид:

$\left(\frac{1}{3}\right)^n < \left(\frac{1}{3}\right)^3$

Основание степени $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение показателя. Следовательно, чтобы неравенство выполнялось, показатель степени $n$ должен быть больше 3.

$n > 3$

Таким образом, неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n$, строго больших 3.

Ответ: $n > 3$.

б)

Необходимо найти все натуральные $n$, удовлетворяющие неравенству $|x_n - a| < r$. Подставим $x_n = (-1)^n \frac{1}{2^n}$, $a = 0$ и $r = \frac{1}{64}$:

$|(-1)^n \frac{1}{2^n} - 0| < \frac{1}{64}$

Упростим левую часть:

$|(-1)^n \frac{1}{2^n}| < \frac{1}{64}$

Воспользуемся свойством модуля $|ab| = |a||b|$:

$|(-1)^n| \cdot |\frac{1}{2^n}| < \frac{1}{64}$

Поскольку $|(-1)^n| = 1$ для любого целого $n$ и $\frac{1}{2^n} > 0$ для любого натурального $n$, неравенство сводится к следующему:

$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{64}$

Представим $64$ как степень двойки: $64 = 2^6$. Тогда $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6}$.

$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^6}$

Это неравенство эквивалентно неравенству $2^n > 2^6$. Так как основание степени 2 больше 1, показательная функция является возрастающей. Значит, большему значению функции соответствует большее значение показателя.

$n > 6$

Неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, строго больших 6.

Ответ: $n > 6$.

в)

Найдем все натуральные $n$, для которых $|x_n - a| < r$. Подставим значения $x_n = 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$, $a = 2$ и $r = \frac{1}{128}$:

$|(2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n) - 2| < \frac{1}{128}$

Упростим выражение под знаком модуля:

$|\left(\frac{1}{2}\right)^n| < \frac{1}{128}$

Выражение $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить:

$\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{128}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{2}$. Так как $128 = 2^7$, то $\frac{1}{128} = \left(\frac{1}{2}\right)^7$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^n < \left(\frac{1}{2}\right)^7$

Основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1, следовательно, функция является убывающей. Поэтому для выполнения неравенства показатель степени в левой части должен быть больше показателя в правой части.

$n > 7$

Неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n$, строго больших 7.

Ответ: $n > 7$.

г)

Найдем все натуральные $n$, для которых $|x_n - a| < r$. Подставим $x_n = 3 - \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $a = 3$ и $r = \frac{1}{81}$:

$|(3 - \left(\frac{1}{3}\right)^n) - 3| < \frac{1}{81}$

Упростим выражение под модулем:

$|-\left(\frac{1}{3}\right)^n| < \frac{1}{81}$

Модуль отрицательного числа равен самому числу без знака минус:

$\left(\frac{1}{3}\right)^n < \frac{1}{81}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{3}$. Так как $81 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = \left(\frac{1}{3}\right)^4$.

$\left(\frac{1}{3}\right)^n < \left(\frac{1}{3}\right)^4$

Так как основание степени $\frac{1}{3}$ меньше 1, показательная функция убывает. Следовательно, показатель степени слева должен быть больше показателя справа.

$n > 4$

Неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, строго больших 4.

Ответ: $n > 4$.