Номер 37.60, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.60. Приведите пример последовательности:

а) возрастающей, ограниченной сверху, все члены которой положительные числа;

б) убывающей, все члены которой принадлежат интервалу $(0; 7)$;

в) возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена;

г) неограниченной, немонотонной.

а) возрастающей, ограниченной сверху, все члены которой положительные числа;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{n}{n+1}$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям:

1. Все члены положительные: для любого натурального $n \geq 1$ числитель $n$ и знаменатель $n+1$ являются положительными числами. Следовательно, их частное $a_n = \frac{n}{n+1}$ всегда будет положительным числом.
2. Возрастающая: для доказательства того, что последовательность является возрастающей, нужно показать, что $a_{n+1} > a_n$ для любого $n$. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$: $a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{(n+1)+1} - \frac{n}{n+1} = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)}$. Так как для любого натурального $n$ знаменатель $(n+2)(n+1)$ положителен, то и вся дробь положительна. Отсюда следует, что $a_{n+1} - a_n > 0$, то есть $a_{n+1} > a_n$. Последовательность возрастает.
3. Ограниченная сверху: представим общий член в виде $a_n = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$. Так как $\frac{1}{n+1}$ — это положительное число при любом натуральном $n$, то $a_n$ всегда будет меньше 1. Таким образом, последовательность ограничена сверху, например, числом 1.

Все условия выполнены.

Ответ: $a_n = \frac{n}{n+1}$.

б) убывающей, все члены которой принадлежат интервалу (0; 7);

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = 6 + \frac{1}{n+1}$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям:

1. Убывающая: нужно показать, что $a_{n+1} < a_n$. $a_{n+1} = 6 + \frac{1}{(n+1)+1} = 6 + \frac{1}{n+2}$. Поскольку для натуральных $n$ верно неравенство $n+2 > n+1$, то $\frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1}$. Прибавив 6 к обеим частям неравенства, получим $6 + \frac{1}{n+2} < 6 + \frac{1}{n+1}$, что означает $a_{n+1} < a_n$. Последовательность является убывающей.
2. Все члены принадлежат интервалу (0; 7): Первый член последовательности $a_1 = 6 + \frac{1}{1+1} = 6.5$. Так как последовательность убывает, все ее члены будут меньше или равны $a_1=6.5$. Следовательно, $a_n < 7$ для всех $n$. Предел последовательности при $n \to \infty$ равен $\lim_{n \to \infty} (6 + \frac{1}{n+1}) = 6$. Так как последовательность убывает, все ее члены будут больше ее предела. Следовательно, $a_n > 6$ для всех $n$. Таким образом, для всех $n$ выполняется неравенство $6 < a_n \leq 6.5$, что означает, что все члены последовательности принадлежат интервалу (0; 7).

Все условия выполнены.

Ответ: $a_n = 6 + \frac{1}{n+1}$.

в) возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = n - 4$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям:

1. Возрастающая: рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n = ((n+1) - 4) - (n - 4) = n - 3 - n + 4 = 1$. Так как разность положительна, то $a_{n+1} > a_n$, и последовательность является возрастающей.
2. Имеет ровно три отрицательных члена: найдем несколько первых членов последовательности:
   • $a_1 = 1 - 4 = -3$ (отрицательный)
   • $a_2 = 2 - 4 = -2$ (отрицательный)
   • $a_3 = 3 - 4 = -1$ (отрицательный)
   • $a_4 = 4 - 4 = 0$ (не является отрицательным)
   • $a_5 = 5 - 4 = 1$ (положительный)
   Так как последовательность возрастает, все члены, начиная с $a_4$, будут неотрицательными. Следовательно, отрицательными являются только первые три члена.

Все условия выполнены.

Ответ: $a_n = n - 4$.

г) неограниченной, немонотонной.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям:

1. Немонотонная: выпишем несколько первых членов: $a_1 = -1, a_2 = 2, a_3 = -3, a_4 = 4, \dots$ Поскольку $a_1 < a_2$, последовательность не является убывающей. Поскольку $a_2 > a_3$, последовательность не является возрастающей. Следовательно, последовательность немонотонная.
2. Неограниченная: последовательность является неограниченной, если для любого числа $M > 0$ найдется член последовательности $a_n$ такой, что $|a_n| > M$. В нашем случае $|a_n| = |(-1)^n \cdot n| = |n| = n$. Для любого, сколь угодно большого, числа $M$ мы всегда можем найти натуральное число $n$ (например, $n = \lfloor M \rfloor + 1$), которое будет больше $M$. Для этого $n$ будет выполняться $|a_n| = n > M$. Это означает, что последовательность не является ограниченной.

Все условия выполнены.

Ответ: $a_n = (-1)^n \cdot n$.