Номер 37.53, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.53. Докажите, что заданная последовательность убывает:

а) $y_n = \frac{3n + 5}{3n - 1}$;

б) $y_n = \frac{1}{n^3 + 2n}$;

в) $y_n = \frac{n^2 + 15}{n^2 + 2}$;

г) $y_n = \frac{n^4 + 2n^2 + 7}{n^2 + 2n^2 - 1}$.

a) Для того чтобы доказать, что последовательность $y_n = \frac{3n + 5}{3n - 1}$ убывает, нужно показать, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} < y_n$. Один из способов это сделать — преобразовать выражение для общего члена последовательности, выделив целую часть.

$y_n = \frac{3n - 1 + 6}{3n - 1} = \frac{3n - 1}{3n - 1} + \frac{6}{3n - 1} = 1 + \frac{6}{3n - 1}$.

Рассмотрим знаменатель дроби $3n - 1$. Поскольку $n$ — натуральное число, то с увеличением $n$ значение выражения $3n - 1$ также увеличивается. Так как знаменатель $3n - 1$ — положительная возрастающая функция от $n$ (для $n \ge 1$), а числитель 6 — положительная константа, то значение дроби $\frac{6}{3n - 1}$ с ростом $n$ уменьшается.

Таким образом, последовательность $y_n$ является суммой константы (1) и убывающей последовательности $\frac{6}{3n - 1}$, а значит, сама является убывающей.

Более строго: для любого натурального $n$ имеем $n+1 > n$, следовательно, $3(n+1) - 1 > 3n - 1$, то есть $3n+2 > 3n-1$. Так как обе части неравенства положительны, то $\frac{1}{3n+2} < \frac{1}{3n-1}$. Умножив на 6, получим $\frac{6}{3n+2} < \frac{6}{3n-1}$. Прибавив 1 к обеим частям, получим $1 + \frac{6}{3n+2} < 1 + \frac{6}{3n-1}$, что и означает $y_{n+1} < y_n$.

Ответ: доказано.

б) Для последовательности $y_n = \frac{1}{n^3 + 2n}$ докажем, что она является убывающей. Для этого рассмотрим поведение знаменателя $z_n = n^3 + 2n$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то с ростом $n$ оба слагаемых в знаменателе, $n^3$ и $2n$, возрастают. Сумма двух возрастающих последовательностей также является возрастающей последовательностью. Следовательно, последовательность знаменателей $z_n = n^3 + 2n$ возрастает.

Также заметим, что для всех натуральных $n$, знаменатель $n^3 + 2n$ положителен.

Последовательность $y_n = \frac{1}{z_n}$ является обратной к последовательности положительных возрастающих чисел. Следовательно, сама последовательность $y_n$ является убывающей.

Формально: поскольку $z_n$ возрастает, то для любого натурального $n$ имеем $z_{n+1} > z_n$. Так как $z_n > 0$, мы можем разделить на $z_n z_{n+1}$ (положительное число), получив $\frac{1}{z_n} > \frac{1}{z_{n+1}}$, что равносильно $y_n > y_{n+1}$.

Ответ: доказано.

в) Для последовательности $y_n = \frac{n^2 + 15}{n^2 + 2}$ докажем, что она является убывающей. Как и в пункте а), преобразуем выражение для общего члена, выделив целую часть.

$y_n = \frac{n^2 + 2 + 13}{n^2 + 2} = \frac{n^2 + 2}{n^2 + 2} + \frac{13}{n^2 + 2} = 1 + \frac{13}{n^2 + 2}$.

Рассмотрим знаменатель дроби $n^2 + 2$. С увеличением натурального $n$, значение $n^2$ увеличивается, а значит, и значение $n^2 + 2$ также увеличивается. Таким образом, последовательность знаменателей $z_n = n^2 + 2$ является возрастающей.

Поскольку знаменатель $n^2 + 2$ — положительная возрастающая функция от $n$, а числитель 13 — положительная константа, то значение дроби $\frac{13}{n^2 + 2}$ с ростом $n$ уменьшается.

Последовательность $y_n$ является суммой константы (1) и убывающей последовательности, следовательно, она также является убывающей. Это доказывает, что $y_{n+1} < y_n$ для всех натуральных $n$.

Ответ: доказано.

г) В условии для последовательности $y_n = \frac{n^4 + 2n^2 + 7}{n^2 + 2n^2 - 1}$ скорее всего допущена опечатка. Если записать знаменатель как $3n^2 - 1$, то последовательность $y_n = \frac{n^4 + 2n^2 + 7}{3n^2 - 1}$ не будет убывающей для всех натуральных $n$. Предположим, что в знаменателе в первом слагаемом степень также равна 4, то есть формула имеет вид $y_n = \frac{n^4 + 2n^2 + 7}{n^4 + 2n^2 - 1}$. Докажем, что эта (исправленная) последовательность убывает.

Преобразуем выражение для общего члена, выделив целую часть:

$y_n = \frac{(n^4 + 2n^2 - 1) + 8}{n^4 + 2n^2 - 1} = \frac{n^4 + 2n^2 - 1}{n^4 + 2n^2 - 1} + \frac{8}{n^4 + 2n^2 - 1} = 1 + \frac{8}{n^4 + 2n^2 - 1}$.

Рассмотрим знаменатель дроби $z_n = n^4 + 2n^2 - 1$. Для $n \ge 1$ он положителен, так как $z_1 = 1+2-1 = 2 > 0$. Последовательность $z_n$ является возрастающей для натуральных $n$, так как она является суммой возрастающих последовательностей $n^4$ и $2n^2$ минус константа.

Поскольку знаменатель $z_n = n^4 + 2n^2 - 1$ является положительной возрастающей последовательностью, дробь $\frac{8}{n^4 + 2n^2 - 1}$ является убывающей последовательностью.

Следовательно, последовательность $y_n = 1 + \frac{8}{n^4 + 2n^2 - 1}$, как сумма константы и убывающей последовательности, также является убывающей.

Ответ: доказано (при условии исправления опечатки в формуле).