Номер 37.49, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.49. Объясните, является последовательность $(y_n)$ убывающей или возрастающей, если для любого номера $n$ выполняется неравенство:

a) $y_{n+1} - y_n > 0;$

б) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1 (y_n > 0);$

в) $y_{n+1} - y_n < 0;$

г) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1 (y_n < 0).$

Для определения, является ли последовательность возрастающей или убывающей, необходимо сравнить каждый последующий член последовательности $y_{n+1}$ с предыдущим $y_n$.

• Если $y_{n+1} > y_n$ для всех $n$, последовательность является возрастающей.
• Если $y_{n+1} < y_n$ для всех $n$, последовательность является убывающей.

а)

Дано неравенство $y_{n+1} - y_n > 0$.
Перенесем $y_n$ в правую часть неравенства. Знак неравенства при этом не меняется.
$y_{n+1} > y_n$
Это означает, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего. Согласно определению, такая последовательность является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

б)

Дано неравенство $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ при условии, что все члены последовательности положительны, то есть $y_n > 0$.
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на $y_n$. Так как $y_n$ — положительное число, знак неравенства не изменится.
$\frac{y_{n+1}}{y_n} \cdot y_n < 1 \cdot y_n$
$y_{n+1} < y_n$
Это означает, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. Согласно определению, такая последовательность является убывающей.
Ответ: убывающая.

в)

Дано неравенство $y_{n+1} - y_n < 0$.
Перенесем $y_n$ в правую часть неравенства.
$y_{n+1} < y_n$
Это означает, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. Согласно определению, такая последовательность является убывающей.
Ответ: убывающая.

г)

Дано неравенство $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ при условии, что все члены последовательности отрицательны, то есть $y_n < 0$.
Умножим обе части неравенства на $y_n$. Так как $y_n$ — отрицательное число, при умножении на него знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{y_{n+1}}{y_n} \cdot y_n > 1 \cdot y_n$ (знак < поменялся на >)
$y_{n+1} > y_n$
Это означает, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего (например, -2 > -3). Согласно определению, такая последовательность является возрастающей.
Ответ: возрастающая.