Номер 37.48, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.48. Определите, является последовательность $(x_n)$ убывающей или возрастающей:

а) $x_n = 3n + 2;$

б) $x_n = \frac{5}{n + 3};$

в) $x_n = 6^{1-n};$

г) $x_n = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}.$

а) Дана последовательность $x_n = 3n + 2$. Чтобы определить, является ли она возрастающей или убывающей, сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены.Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3(n+1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5$.Рассмотрим разность последующего и предыдущего членов:$x_{n+1} - x_n = (3n + 5) - (3n + 2) = 3n + 5 - 3n - 2 = 3$.Так как разность $x_{n+1} - x_n = 3$ является положительным числом для любого натурального $n$, то $x_{n+1} > x_n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.Ответ: возрастающая.

б) Дана последовательность $x_n = \frac{5}{n + 3}$.Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = \frac{5}{(n+1) + 3} = \frac{5}{n + 4}$.Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:$x_{n+1} - x_n = \frac{5}{n+4} - \frac{5}{n+3} = \frac{5(n+3) - 5(n+4)}{(n+4)(n+3)} = \frac{5n + 15 - 5n - 20}{(n+4)(n+3)} = \frac{-5}{(n+4)(n+3)}$.Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), знаменатель $(n+4)(n+3)$ всегда положителен. Числитель равен -5, то есть отрицателен. Таким образом, вся дробь отрицательна.Так как $x_{n+1} - x_n < 0$ для любого натурального $n$, то $x_{n+1} < x_n$. Следовательно, последовательность является убывающей.Ответ: убывающая.

в) Дана последовательность $x_n = 6^{1-n}$.Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 6^{1-(n+1)} = 6^{1-n-1} = 6^{-n}$.Все члены последовательности $x_n = \frac{6}{6^n}$ положительны при любом натуральном $n$. Рассмотрим их отношение:$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{6^{-n}}{6^{1-n}} = 6^{-n - (1-n)} = 6^{-n - 1 + n} = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.Так как отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{6}$ и $0 < \frac{1}{6} < 1$, то $x_{n+1} < x_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность является убывающей.Ответ: убывающая.

г) Дана последовательность $x_n = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}$.Поскольку для любого натурального $n$ показатель степени $2n-1$ является нечетным числом, все члены последовательности $x_n$ отрицательны, так как основание $\left(-\frac{1}{5}\right)$ отрицательно.Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2(n+1)-1} = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n+1}$.Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:$x_{n+1} - x_n = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n+1} - \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}$.Вынесем общий множитель $\left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}$:$x_{n+1} - x_n = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1} \cdot \left(\left(-\frac{1}{5}\right)^2 - 1\right) = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1} \cdot \left(\frac{1}{25} - 1\right) = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1} \cdot \left(-\frac{24}{25}\right)$.Первый множитель $\left(-\frac{1}{5}\right)^{2n-1}$ отрицателен, так как это отрицательное число в нечетной степени.Второй множитель $\left(-\frac{24}{25}\right)$ также отрицателен.Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.Следовательно, $x_{n+1} - x_n > 0$ для любого натурального $n$, и $x_{n+1} > x_n$. Последовательность является возрастающей.Ответ: возрастающая.