Номер 37.47, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.47. При каких значениях параметра p последовательность:

a) $y_n = \frac{2n + p}{3n - 1}$ ограничена сверху числом 1;

б) $y_n = \frac{p + 5n}{3n + 1}$ ограничена снизу числом 1?

a) Последовательность $y_n = \frac{2n + p}{3n - 1}$ ограничена сверху числом 1, если для любого натурального числа $n \ge 1$ выполняется неравенство $y_n \le 1$.

Запишем это неравенство:

$\frac{2n + p}{3n - 1} \le 1$

Поскольку $n$ — натуральное число и $n \ge 1$, знаменатель $3n - 1$ всегда положителен ($3n - 1 \ge 3(1) - 1 = 2 > 0$). Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $3n - 1$, не меняя знака неравенства:

$2n + p \le 3n - 1$

Выразим параметр $p$:

$p \le 3n - 1 - 2n$

$p \le n - 1$

Это неравенство должно выполняться для всех натуральных чисел $n \ge 1$. Чтобы это условие соблюдалось, параметр $p$ должен быть не больше, чем наименьшее значение выражения $n - 1$ при $n \ge 1$.

Выражение $n - 1$ является возрастающей функцией от $n$. Его наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении $n$, то есть при $n=1$.

$\min_{n \ge 1} (n - 1) = 1 - 1 = 0$

Следовательно, для выполнения условия для всех $n \ge 1$ необходимо, чтобы $p \le 0$.

Ответ: $p \le 0$

б) Последовательность $y_n = \frac{p + 5n}{3n + 1}$ ограничена снизу числом 1, если для любого натурального числа $n \ge 1$ выполняется неравенство $y_n \ge 1$.

Запишем это неравенство:

$\frac{p + 5n}{3n + 1} \ge 1$

Поскольку $n$ — натуральное число и $n \ge 1$, знаменатель $3n + 1$ всегда положителен ($3n + 1 \ge 3(1) + 1 = 4 > 0$). Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $3n + 1$, не меняя знака неравенства:

$p + 5n \ge 3n + 1$

Выразим параметр $p$:

$p \ge 3n + 1 - 5n$

$p \ge 1 - 2n$

Это неравенство должно выполняться для всех натуральных чисел $n \ge 1$. Чтобы это условие соблюдалось, параметр $p$ должен быть не меньше, чем наибольшее значение выражения $1 - 2n$ при $n \ge 1$.

Выражение $1 - 2n$ является убывающей функцией от $n$. Его наибольшее значение достигается при наименьшем возможном значении $n$, то есть при $n=1$.

$\max_{n \ge 1} (1 - 2n) = 1 - 2(1) = -1$

Следовательно, для выполнения условия для всех $n \ge 1$ необходимо, чтобы $p \ge -1$.

Ответ: $p \ge -1$