Номер 37.41, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.41. Является ли ограниченной снизу последовательность:

а) -1, 2, -3, 4, -5, ... ;

в) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, ...;

б) $y_n = \frac{n^2}{n+1}$;

г) $y_n = ((-1)^n + 1)n^2$?

а) Последовательность: -1, 2, -3, 4, -5, ... Формула n-го члена этой последовательности: $y_n = (-1)^n \cdot n$. Рассмотрим подпоследовательность, состоящую из членов с нечетными номерами: $y_1, y_3, y_5, ...$ $y_1 = -1$
$y_3 = -3$
$y_5 = -5$
...
$y_{2k-1} = -(2k-1)$
Эта подпоследовательность стремится к минус бесконечности ($y_{2k-1} \to -\infty$ при $k \to \infty$). Это означает, что для любого сколь угодно малого числа $M$ (например, $M = -1000$) можно найти такой член последовательности, который будет меньше $M$. Например, $y_{1001} = -1001 < -1000$. Следовательно, не существует такого числа, которое было бы меньше или равно всем членам последовательности.
Ответ: нет, последовательность не является ограниченной снизу.

б) Последовательность задана формулой $y_n = \frac{n^2}{n + 1}$. Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), то числитель $n^2 > 0$ и знаменатель $n+1 > 0$. Следовательно, каждый член последовательности $y_n$ является положительным числом: $y_n > 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Это означает, что последовательность ограничена снизу, например, числом 0. Можно найти и более точную нижнюю границу. Исследуем последовательность на монотонность: $y_{n+1} - y_n = \frac{(n+1)^2}{n+2} - \frac{n^2}{n+1} = \frac{(n+1)^3 - n^2(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^3+3n^2+3n+1 - n^3-2n^2}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2+3n+1}{(n+2)(n+1)}$
Так как $n \ge 1$, и числитель, и знаменатель этой дроби положительны. Значит, $y_{n+1} - y_n > 0$, то есть $y_{n+1} > y_n$. Последовательность является возрастающей. Ее наименьший член - первый: $y_1 = \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2}$. Таким образом, все члены последовательности удовлетворяют неравенству $y_n \ge \frac{1}{2}$.
Ответ: да, последовательность является ограниченной снизу.

в) Последовательность: 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, ... Это арифметическая прогрессия, первый член которой $y_1 = 5$, а разность $d = -1$. Формула n-го члена этой последовательности: $y_n = y_1 + (n-1)d = 5 + (n-1)(-1) = 5 - n + 1 = 6 - n$. При неограниченном увеличении номера $n$ ($n \to \infty$) члены последовательности становятся сколь угодно малыми отрицательными числами ($y_n = 6-n \to -\infty$). Для любого числа $M$ можно найти такой номер $n$, что $y_n < M$. Для этого нужно, чтобы $6 - n < M$, то есть $n > 6 - M$. Такое натуральное число $n$ всегда существует. Следовательно, последовательность не ограничена снизу.
Ответ: нет, последовательность не является ограниченной снизу.

г) Последовательность задана формулой $y_n = ((-1)^n + 1)n^2$. Рассмотрим два случая.
1. Если $n$ - нечетное число ($n = 1, 3, 5, ...$), то $(-1)^n = -1$. В этом случае $y_n = (-1 + 1)n^2 = 0 \cdot n^2 = 0$.
2. Если $n$ - четное число ($n = 2, 4, 6, ...$), то $(-1)^n = 1$. В этом случае $y_n = (1 + 1)n^2 = 2n^2$. Поскольку $n \ge 2$ и четное, то $y_n$ принимает значения $2 \cdot 2^2=8$, $2 \cdot 4^2=32$, и так далее. Все эти члены положительны.
Таким образом, все члены последовательности либо равны 0 (для нечетных $n$), либо являются положительными числами (для четных $n$). Следовательно, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $y_n \ge 0$. Это означает, что последовательность ограничена снизу, например, числом 0.
Ответ: да, последовательность является ограниченной снизу.