Страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.39. Найдите наименьший член последовательности:

а) $y_n = 3n^2 - 10n + 3;$

б) $y_n = \frac{-3}{2n - 5};$

в) $y_n = 2n^2 - 7n + 3;$

г) $y_n = \frac{-4}{n + 4}.$

а) $y_n = 3n^2 - 10n + 3$

Данная последовательность задана квадратичной функцией. Рассмотрим соответствующую непрерывную функцию $y(x) = 3x^2 - 10x + 3$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Следовательно, функция имеет точку минимума.

Координата вершины параболы $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=3$, $b=-10$.

$n_0 = -\frac{-10}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из целых чисел, ближайших к $n_0 = 5/3$. Такими числами являются $n=1$ и $n=2$.

Сравним значения члена последовательности при этих значениях $n$:

При $n=1$: $y_1 = 3(1)^2 - 10(1) + 3 = 3 - 10 + 3 = -4$.

При $n=2$: $y_2 = 3(2)^2 - 10(2) + 3 = 3 \cdot 4 - 20 + 3 = 12 - 20 + 3 = -5$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-5 < -4$. Таким образом, наименьший член последовательности равен -5.

Ответ: -5.

б) $y_n = \frac{-3}{2n - 5}$

Проанализируем поведение этой функции в зависимости от натурального аргумента $n$. Значение дроби зависит от её знаменателя $2n - 5$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя.

1. Если знаменатель $2n - 5 < 0$, что эквивалентно $2n < 5$ или $n < 2.5$. Поскольку $n$ - натуральное число, это условие выполняется для $n=1$ и $n=2$. В этом случае $y_n$ будет положительным.

При $n=1$: $y_1 = \frac{-3}{2(1) - 5} = \frac{-3}{-3} = 1$.

При $n=2$: $y_2 = \frac{-3}{2(2) - 5} = \frac{-3}{-1} = 3$.

Наименьшее значение в этом случае равно 1.

2. Если знаменатель $2n - 5 > 0$, что эквивалентно $n > 2.5$. Поскольку $n$ - натуральное число, это условие выполняется для $n=3, 4, 5, \dots$. В этом случае $y_n$ будет отрицательным.

Чтобы найти наименьший (самый отрицательный) член последовательности, нужно сделать его модуль $|y_n| = \frac{3}{2n-5}$ как можно большим. Это произойдет, когда знаменатель $2n-5$ будет положительным и как можно меньшим. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее условию $n > 2.5$, это $n=3$.

При $n=3$: $y_3 = \frac{-3}{2(3) - 5} = \frac{-3}{1} = -3$.

При увеличении $n$ ($n=4, 5, \dots$), знаменатель $2n-5$ увеличивается, а значение $y_n$ приближается к нулю, оставаясь отрицательным ($y_4 = -1$, $y_5 = -3/5$ и т.д.). Значит, наименьшее значение в этом случае равно -3.

Сравнивая наименьшие значения из обоих случаев (1 и -3), заключаем, что наименьший член всей последовательности равен -3.

Ответ: -3.

в) $y_n = 2n^2 - 7n + 3$

Как и в пункте а), данная последовательность задана квадратичной функцией. Рассмотрим параболу $y(x) = 2x^2 - 7x + 3$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2 > 0$), значит, она имеет минимум.

Найдем координату вершины параболы:

$n_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1.75$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, наименьшее значение достигается при одном из целых чисел, ближайших к $n_0 = 1.75$. Это $n=1$ и $n=2$.

Вычислим значения последовательности для этих номеров:

При $n=1$: $y_1 = 2(1)^2 - 7(1) + 3 = 2 - 7 + 3 = -2$.

При $n=2$: $y_2 = 2(2)^2 - 7(2) + 3 = 2 \cdot 4 - 14 + 3 = 8 - 14 + 3 = -3$.

Так как $-3 < -2$, наименьший член последовательности равен -3.

Ответ: -3.

г) $y_n = \frac{-4}{n + 4}$

Поскольку $n$ является натуральным числом, $n \ge 1$.

Знаменатель дроби $n+4$ всегда будет положительным, так как $n+4 \ge 1+4=5$.

Следовательно, член последовательности $y_n$ всегда будет отрицательным. Чтобы найти наименьшее значение $y_n$ (наиболее отрицательное), необходимо, чтобы его модуль $|y_n| = \frac{4}{n+4}$ был максимальным.

Дробь $\frac{4}{n+4}$ будет максимальной, когда ее знаменатель $n+4$ будет минимальным.

Функция $f(n)=n+4$ возрастающая. Ее наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении $n$, то есть при $n=1$.

Найдем наименьший член последовательности, подставив $n=1$:

$y_1 = \frac{-4}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$.

При увеличении $n$ знаменатель $n+4$ будет расти, а значение $y_n$ будет увеличиваться (приближаться к 0). Следовательно, $y_1 = -4/5$ является наименьшим членом последовательности.

Ответ: $-\frac{4}{5}$.

37.40. Найдите наибольший член последовательности:

а) $y_n = -2n^2 + 11n - 2;$

б) $y_n = \frac{3}{2n - 5};$

в) $y_n = 20 - 12n - 3n^2;$

г) $y_n = \frac{4}{n + 4}.$

а) Последовательность задана формулой $y_n = -2n^2 + 11n - 2$. Это квадратичная функция от $n$. Графиком функции $y(x) = -2x^2 + 11x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при старшем члене отрицателен ($-2 < 0$). Следовательно, наибольшее значение функция принимает в своей вершине.
Координата вершины параболы $y=ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей последовательности $a=-2$ и $b=11$. Найдем номер $n$, при котором достигался бы максимум, если бы $n$ могло быть любым действительным числом: $n_0 = -\frac{11}{2 \cdot (-2)} = \frac{11}{4} = 2.75$.
Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, наибольшее значение достигается при одном из целых чисел, ближайших к $n_0=2.75$. Это $n=2$ и $n=3$.
Сравним значения последовательности при этих $n$:
$y_2 = -2 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 - 2 = -2 \cdot 4 + 22 - 2 = -8 + 22 - 2 = 12$.
$y_3 = -2 \cdot 3^2 + 11 \cdot 3 - 2 = -2 \cdot 9 + 33 - 2 = -18 + 33 - 2 = 13$.
Так как $13 > 12$, наибольшим членом последовательности является $y_3$.
Ответ: 13

б) Последовательность задана формулой $y_n = \frac{3}{2n - 5}$. Числитель дроби является положительной константой. Чтобы значение дроби было наибольшим, ее знаменатель должен быть положительным и принимать наименьшее возможное значение.
Рассмотрим знаменатель $2n-5$. Он должен быть положительным:
$2n - 5 > 0$
$2n > 5$
$n > 2.5$
Поскольку $n$ — натуральное число, наименьшее значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=3$. При $n=3$ знаменатель $2 \cdot 3 - 5 = 1$. Это наименьшее возможное положительное значение знаменателя.
При $n=3$ значение члена последовательности равно $y_3 = \frac{3}{1} = 3$.
При $n > 3$ знаменатель будет больше 1, а значение дроби — меньше 3.
При $n \le 2$ знаменатель будет отрицательным ($2 \cdot 1 - 5 = -3$; $2 \cdot 2 - 5 = -1$), и члены последовательности будут отрицательными ($y_1 = -1$; $y_2 = -3$), что заведомо меньше 3.
Следовательно, наибольший член последовательности равен 3.
Ответ: 3

в) Последовательность задана формулой $y_n = 20 - 12n - 3n^2$. Запишем ее в стандартном виде: $y_n = -3n^2 - 12n + 20$. Это квадратичная функция с ветвями параболы, направленными вниз (коэффициент при $n^2$ равен $-3 < 0$).
Найдем вершину параболы:
$n_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-12}{-6} = -2$.
Вершина параболы находится в точке $n_0 = -2$. Поскольку $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$, все рассматриваемые значения $n$ находятся правее вершины. На этом интервале ($[-2, +\infty)$) функция убывает.
Следовательно, последовательность $y_n$ является убывающей для всех натуральных $n$. Наибольшее значение она принимает при наименьшем натуральном $n$, то есть при $n=1$.
Вычислим этот член:
$y_1 = 20 - 12 \cdot 1 - 3 \cdot 1^2 = 20 - 12 - 3 = 5$.
Ответ: 5

г) Последовательность задана формулой $y_n = \frac{4}{n + 4}$. Числитель дроби — положительная константа. Чтобы значение дроби было наибольшим, ее знаменатель $n+4$ должен быть наименьшим.
Поскольку $n$ — натуральное число, его наименьшее значение равно 1. Знаменатель $n+4$ является возрастающей функцией от $n$, поэтому его наименьшее значение достигается при наименьшем $n$, то есть при $n=1$.
Минимальное значение знаменателя равно $1+4=5$.
Тогда наибольший член последовательности равен:
$y_1 = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$

37.41. Является ли ограниченной снизу последовательность:

а) -1, 2, -3, 4, -5, ... ;

в) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, ...;

б) $y_n = \frac{n^2}{n+1}$;

г) $y_n = ((-1)^n + 1)n^2$?

а) Последовательность: -1, 2, -3, 4, -5, ... Формула n-го члена этой последовательности: $y_n = (-1)^n \cdot n$. Рассмотрим подпоследовательность, состоящую из членов с нечетными номерами: $y_1, y_3, y_5, ...$ $y_1 = -1$
$y_3 = -3$
$y_5 = -5$
...
$y_{2k-1} = -(2k-1)$
Эта подпоследовательность стремится к минус бесконечности ($y_{2k-1} \to -\infty$ при $k \to \infty$). Это означает, что для любого сколь угодно малого числа $M$ (например, $M = -1000$) можно найти такой член последовательности, который будет меньше $M$. Например, $y_{1001} = -1001 < -1000$. Следовательно, не существует такого числа, которое было бы меньше или равно всем членам последовательности.
Ответ: нет, последовательность не является ограниченной снизу.

б) Последовательность задана формулой $y_n = \frac{n^2}{n + 1}$. Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), то числитель $n^2 > 0$ и знаменатель $n+1 > 0$. Следовательно, каждый член последовательности $y_n$ является положительным числом: $y_n > 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Это означает, что последовательность ограничена снизу, например, числом 0. Можно найти и более точную нижнюю границу. Исследуем последовательность на монотонность: $y_{n+1} - y_n = \frac{(n+1)^2}{n+2} - \frac{n^2}{n+1} = \frac{(n+1)^3 - n^2(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^3+3n^2+3n+1 - n^3-2n^2}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2+3n+1}{(n+2)(n+1)}$
Так как $n \ge 1$, и числитель, и знаменатель этой дроби положительны. Значит, $y_{n+1} - y_n > 0$, то есть $y_{n+1} > y_n$. Последовательность является возрастающей. Ее наименьший член - первый: $y_1 = \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2}$. Таким образом, все члены последовательности удовлетворяют неравенству $y_n \ge \frac{1}{2}$.
Ответ: да, последовательность является ограниченной снизу.

в) Последовательность: 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, ... Это арифметическая прогрессия, первый член которой $y_1 = 5$, а разность $d = -1$. Формула n-го члена этой последовательности: $y_n = y_1 + (n-1)d = 5 + (n-1)(-1) = 5 - n + 1 = 6 - n$. При неограниченном увеличении номера $n$ ($n \to \infty$) члены последовательности становятся сколь угодно малыми отрицательными числами ($y_n = 6-n \to -\infty$). Для любого числа $M$ можно найти такой номер $n$, что $y_n < M$. Для этого нужно, чтобы $6 - n < M$, то есть $n > 6 - M$. Такое натуральное число $n$ всегда существует. Следовательно, последовательность не ограничена снизу.
Ответ: нет, последовательность не является ограниченной снизу.

г) Последовательность задана формулой $y_n = ((-1)^n + 1)n^2$. Рассмотрим два случая.
1. Если $n$ - нечетное число ($n = 1, 3, 5, ...$), то $(-1)^n = -1$. В этом случае $y_n = (-1 + 1)n^2 = 0 \cdot n^2 = 0$.
2. Если $n$ - четное число ($n = 2, 4, 6, ...$), то $(-1)^n = 1$. В этом случае $y_n = (1 + 1)n^2 = 2n^2$. Поскольку $n \ge 2$ и четное, то $y_n$ принимает значения $2 \cdot 2^2=8$, $2 \cdot 4^2=32$, и так далее. Все эти члены положительны.
Таким образом, все члены последовательности либо равны 0 (для нечетных $n$), либо являются положительными числами (для четных $n$). Следовательно, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $y_n \ge 0$. Это означает, что последовательность ограничена снизу, например, числом 0.
Ответ: да, последовательность является ограниченной снизу.

37.42. Является ли ограниченной сверху последовательность:

а) $x_n = \frac{(-1)^n + 1}{n};$

б) $1, -1, 1, -2, 1, -3, ...;$

в) $x_n = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2};$

г) $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ... ?$

а) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$.

Значение члена последовательности зависит от четности номера $n$.

1. Если $n$ — нечетное число, то $(-1)^n = -1$. В этом случае числитель дроби равен $(-1) + 1 = 0$, и, следовательно, $x_n = \frac{0}{n} = 0$.

2. Если $n$ — четное число, то $(-1)^n = 1$. В этом случае числитель дроби равен $1 + 1 = 2$, и, следовательно, $x_n = \frac{2}{n}$.

Таким образом, последовательность состоит из нулей (на нечетных местах) и положительных чисел вида $\frac{2}{n}$ (на четных местах): $0, 1, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, \dots$.

Максимальное значение среди членов с четными номерами достигается при наименьшем четном $n$, то есть при $n=2$, и равно $x_2 = \frac{2}{2} = 1$. Все остальные члены с четными номерами меньше 1. Члены с нечетными номерами равны 0. Следовательно, для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху, например, числом 1.

Ответ: да, является.

б) Рассмотрим последовательность, заданную первыми членами: $1, -1, 1, -2, 1, -3, \dots$.

Из вида последовательности можно установить следующую закономерность:

1. Члены последовательности, стоящие на нечетных местах, равны 1: $x_1=1, x_3=1, x_5=1, \dots$.

2. Члены последовательности, стоящие на четных местах, образуют последовательность отрицательных целых чисел: $x_2=-1, x_4=-2, x_6=-3, \dots$. Общий член для них может быть записан как $x_{2k}=-k$, где $k \in \mathbb{N}$.

Множество значений всех членов последовательности представляет собой объединение $\{1\} \cup \{-1, -2, -3, \dots\}$. Максимальным элементом этого множества является число 1. Любой другой член последовательности (отрицательное число) меньше 1. Таким образом, для любого члена последовательности $x_n$ выполняется неравенство $x_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху.

Ответ: да, является.

в) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2}$.

Для того чтобы проверить, ограничена ли последовательность сверху, можно преобразовать выражение для $n$-го члена, выделив целую часть:

$x_n = \frac{n^2 + 2 - 3}{n^2 + 2} = \frac{n^2 + 2}{n^2 + 2} - \frac{3}{n^2 + 2} = 1 - \frac{3}{n^2 + 2}$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n^2 \ge 1$, а $n^2 + 2 \ge 3$. Значит, выражение $\frac{3}{n^2 + 2}$ всегда положительно. Поскольку из единицы вычитается положительное число, значение $x_n$ всегда будет меньше 1. То есть, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n < 1$. Следовательно, последовательность ограничена сверху, например, числом 1.

Ответ: да, является.

г) Рассмотрим последовательность, заданную первыми членами: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$.

Легко заметить, что формула $n$-го члена этой последовательности имеет вид $x_n = \frac{n}{n+1}$.

Для проверки на ограниченность сверху преобразуем это выражение:

$x_n = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$.

Поскольку $n \ge 1$, знаменатель $n+1$ всегда положителен, и, следовательно, дробь $\frac{1}{n+1}$ также всегда положительна. Таким образом, каждый член последовательности $x_n$ получается вычитанием положительного числа из 1, что означает $x_n < 1$ для любого натурального $n$. Это доказывает, что последовательность ограничена сверху, например, числом 1.

Ответ: да, является.

37.43. Является ли ограниченной последовательность:

а) $ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ..., \frac{1}{n}, ... $

б) $ -2, 3, -4, 5, ..., (-1)^n(n + 1), ... $

в) $ \frac{\sin 1}{1}, -\frac{\sin 2}{2}, \frac{\sin 3}{3}, ..., \frac{(-1)^{n-1} \sin n}{n}, ... $

г) $ \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}, \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4}, \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4}, ..., \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n - 1), ...? $

а) Последовательность задана членами $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$. Общий член последовательности можно записать как $x_n = \frac{1}{n+1}$ для $n=1, 2, 3, \dots$. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что для всех членов последовательности $x_n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$. Для данной последовательности при любом натуральном $n \ge 1$ справедливы неравенства: $n \ge 1 \implies n+1 \ge 2 \implies 0 < \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{2}$. Таким образом, все члены последовательности $x_n$ удовлетворяют условию $0 < x_n \le \frac{1}{2}$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом 0 и сверху числом $\frac{1}{2}$. Следовательно, последовательность является ограниченной. Можно взять $M=\frac{1}{2}$, тогда $|x_n| = x_n \le \frac{1}{2} = M$.
Ответ: да, является.

б) Последовательность задана общим членом $x_n = (-1)^n(n+1)$. Рассмотрим абсолютные значения членов последовательности: $|x_n| = |(-1)^n(n+1)| = n+1$. При неограниченном возрастании номера $n$ ($n \to \infty$), значение $|x_n| = n+1$ также неограниченно возрастает ($|x_n| \to \infty$). Это означает, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, найдется такой номер $n$ (например, любой $n > M-1$), что $|x_n| > M$. Рассмотрим подпоследовательности: - Для четных номеров $n=2k$: $x_{2k} = (-1)^{2k}(2k+1) = 2k+1$. Эта подпоследовательность $3, 5, 7, \dots$ не ограничена сверху. - Для нечетных номеров $n=2k-1$: $x_{2k-1} = (-1)^{2k-1}((2k-1)+1) = -2k$. Эта подпоследовательность $-2, -4, -6, \dots$ не ограничена снизу. Так как последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, она является неограниченной.
Ответ: нет, не является.

в) Последовательность задана общим членом $x_n = \frac{(-1)^{n-1} \sin n}{n}$. Рассмотрим модуль общего члена последовательности: $|x_n| = \left| \frac{(-1)^{n-1} \sin n}{n} \right| = \frac{|(-1)^{n-1}| \cdot |\sin n|}{|n|} = \frac{|\sin n|}{n}$ для $n \ge 1$. Известно, что функция синус ограничена, то есть $|\sin n| \le 1$ для любого действительного $n$. Также, для всех натуральных $n \ge 1$, выполняется $\frac{1}{n} \le 1$. Тогда для модуля члена последовательности получаем оценку: $|x_n| = \frac{|\sin n|}{n} \le \frac{1}{n} \le 1$. Таким образом, для всех $n \ge 1$ выполняется неравенство $|x_n| \le 1$. Это означает, что все члены последовательности лежат в отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, последовательность является ограниченной.
Ответ: да, является.

г) Последовательность задана общим членом $x_n = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1)\right)$. Вычислим несколько первых членов последовательности: $x_1 = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 1 - 1)\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. $x_2 = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 2 - 1)\right) = \text{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$. $x_3 = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 3 - 1)\right) = \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. $x_4 = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 4 - 1)\right) = \text{tg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -1$. Можно заметить, что члены последовательности чередуются: $1, -1, 1, -1, \dots$. Докажем это. Рассмотрим член $x_{n+2}$: $x_{n+2} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2(n+2)-1)\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n+3)\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1+4)\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1) + \pi\right)$. Так как функция тангенса имеет период $\pi$, то $\text{tg}(z+\pi) = \text{tg}(z)$. Следовательно, $x_{n+2} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1)\right) = x_n$. Последовательность является периодической с периодом 2. Множество ее значений состоит из двух чисел: $\{-1, 1\}$. Поскольку все члены последовательности по модулю равны 1 ($|x_n|=1$), она является ограниченной (например, числом $M=1$).
Ответ: да, является.

•37.44. Известно, что $(x_n)$ — ограниченная последовательность. Является ли ограниченной последовательность:

a) $y_n = -5x_n + 2;$

б) $p_n = \frac{x_n^2}{x_n^2 + 1};$

в) $z_n = \frac{1}{2|x_n| + 1};$

г) $t_n = x_n \sin (3n)?$

По определению, последовательность $(x_n)$ называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что для всех натуральных чисел $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$.

Чтобы определить, является ли последовательность $(y_n)$ ограниченной, оценим модуль её члена $|y_n|$. Используем неравенство треугольника $|a+b| \le |a|+|b|$:

$|y_n| = |-5x_n + 2| \le |-5x_n| + |2| = 5|x_n| + 2$.

Так как последовательность $(x_n)$ ограничена, существует такое число $M > 0$, что $|x_n| \le M$ для всех $n$. Подставим это в наше неравенство:

$|y_n| \le 5|x_n| + 2 \le 5M + 2$.

Мы нашли число $M_y = 5M + 2$, которое является константой и ограничивает все

37.45. При каких значениях параметра $p$ заданная последовательность ограничена сверху числом 1:

а) $y_n = \frac{2n + p}{2n + 1};$

б) $z_n = \frac{n}{p^2 + n}$?

а) Последовательность $y_n$ ограничена сверху числом 1, если для любого натурального числа $n$ ($n \ge 1$) выполняется неравенство $y_n \le 1$. Запишем и решим это неравенство: $$ \frac{2n + p}{2n + 1} \le 1 $$ Для решения преобразуем выражение для $y_n$, выделив в дроби целую часть: $$ y_n = \frac{2n + 1 + p - 1}{2n + 1} = \frac{2n + 1}{2n + 1} + \frac{p - 1}{2n + 1} = 1 + \frac{p - 1}{2n + 1} $$ Теперь исходное неравенство $y_n \le 1$ принимает вид: $$ 1 + \frac{p - 1}{2n + 1} \le 1 $$ Вычтем 1 из обеих частей: $$ \frac{p - 1}{2n + 1} \le 0 $$ Поскольку $n$ — натуральное число, знаменатель $2n + 1$ всегда положителен ($2n + 1 \ge 3$). Следовательно, чтобы вся дробь была неположительной, её числитель должен быть неположительным: $$ p - 1 \le 0 $$ $$ p \le 1 $$ Это условие не зависит от $n$, поэтому оно является необходимым и достаточным для того, чтобы последовательность была ограничена сверху числом 1.
Ответ: $p \le 1$.

б) Последовательность $z_n$ ограничена сверху числом 1, если для любого натурального числа $n$ ($n \ge 1$) выполняется неравенство $z_n \le 1$. Запишем это неравенство: $$ \frac{n}{p^2 + n} \le 1 $$ Рассмотрим знаменатель $p^2 + n$. Так как $p$ — действительное число, то $p^2 \ge 0$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Таким образом, знаменатель $p^2 + n \ge 0 + 1 = 1$, то есть он всегда положителен и никогда не равен нулю. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на положительный знаменатель $p^2 + n$, не меняя знака неравенства: $$ n \le p^2 + n $$ Вычтем $n$ из обеих частей неравенства: $$ 0 \le p^2 $$ Это неравенство справедливо для любого действительного значения параметра $p$. Следовательно, последовательность $z_n$ ограничена сверху числом 1 при любом значении $p$.
Ответ: $p$ — любое действительное число ($p \in \mathbb{R}$).

37.46. При каких значениях параметра $p$ заданная последовательность ограничена снизу числом 1:

a) $y_n = \frac{n - p}{n + 2};$

б) $z_n = \frac{2n + 9}{2n + p^2}?$

а) Последовательность $y_n = \frac{n-p}{n+2}$ ограничена снизу числом 1, если для всех натуральных чисел $n$ (т.е. $n \ge 1$) выполняется неравенство $y_n \ge 1$.

Запишем это неравенство:

$\frac{n-p}{n+2} \ge 1$

Поскольку $n$ - натуральное число, знаменатель $n+2$ всегда положителен (так как $n+2 \ge 1+2 = 3$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $n+2$, не меняя знака неравенства:

$n - p \ge n + 2$

Вычтем $n$ из обеих частей неравенства:

$-p \ge 2$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

$p \le -2$

Это неравенство не зависит от $n$. Следовательно, если $p \le -2$, то неравенство $y_n \ge 1$ будет выполняться для всех натуральных значений $n$.

Ответ: $p \le -2$.

б) Последовательность $z_n = \frac{2n+9}{2n+p^2}$ ограничена снизу числом 1, если для всех натуральных чисел $n$ (т.е. $n \ge 1$) выполняется неравенство $z_n \ge 1$.

Запишем это неравенство:

$\frac{2n+9}{2n+p^2} \ge 1$

Рассмотрим знаменатель $2n+p^2$. Так как $n \ge 1$, то $2n \ge 2$. Выражение $p^2$ всегда неотрицательно ($p^2 \ge 0$). Следовательно, знаменатель $2n+p^2 \ge 2+0=2$ всегда положителен. Мы можем умножить обе части неравенства на $2n+p^2$, не меняя знака неравенства:

$2n + 9 \ge 2n + p^2$

Вычтем $2n$ из обеих частей неравенства:

$9 \ge p^2$

или

$p^2 \le 9$

Решением этого неравенства является промежуток:

$-3 \le p \le 3$

Это неравенство также не зависит от $n$. Следовательно, если $-3 \le p \le 3$, то неравенство $z_n \ge 1$ будет выполняться для всех натуральных значений $n$.

Ответ: $p \in [-3, 3]$.