Страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.23. a) $3, 9, 27, 81, 243, \dots;$

Б) $1, 8, 27, 64, 125, \dots;$

б) $9, 16, 25, 36, 49, \dots;$

Г) $2, 9, 28, 65, 126, \dots.$

а) Рассмотрим последовательность: 3, 9, 27, 81, 243, ... .
Каждый член этой последовательности является степенью числа 3.
Первый член: $3^1 = 3$
Второй член: $3^2 = 9$
Третий член: $3^3 = 27$
Четвертый член: $3^4 = 81$
Пятый член: $3^5 = 243$
Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1=3$ и знаменателем $q=3$. Формула n-го члена: $b_n = 3^n$.
Чтобы найти следующий член последовательности, необходимо возвести 3 в 6-ю степень или умножить последний известный член (243) на 3:
$3^6 = 243 \times 3 = 729$.
Ответ: 729

б) Рассмотрим последовательность: 9, 16, 25, 36, 49, ... .
Каждый член этой последовательности является квадратом целого числа, начиная с 3.
Первый член: $3^2 = 9$
Второй член: $4^2 = 16$
Третий член: $5^2 = 25$
Четвертый член: $6^2 = 36$
Пятый член: $7^2 = 49$
Формула n-го члена последовательности: $a_n = (n+2)^2$.
Чтобы найти следующий член последовательности, необходимо возвести в квадрат следующее число в ряду, то есть 8:
$8^2 = 64$.
Ответ: 64

в) Рассмотрим последовательность: 1, 8, 27, 64, 125, ... .
Каждый член этой последовательности является кубом натурального числа.
Первый член: $1^3 = 1$
Второй член: $2^3 = 8$
Третий член: $3^3 = 27$
Четвертый член: $4^3 = 64$
Пятый член: $5^3 = 125$
Формула n-го члена последовательности: $a_n = n^3$.
Чтобы найти следующий член последовательности, необходимо возвести в куб следующее натуральное число, то есть 6:
$6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$.
Ответ: 216

г) Рассмотрим последовательность: 2, 9, 28, 65, 126, ... .
Эта последовательность тесно связана с последовательностью кубов натуральных чисел (как в пункте в)). Каждый член на 1 больше соответствующего куба.
Первый член: $1^3 + 1 = 1 + 1 = 2$
Второй член: $2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$
Третий член: $3^3 + 1 = 27 + 1 = 28$
Четвертый член: $4^3 + 1 = 64 + 1 = 65$
Пятый член: $5^3 + 1 = 125 + 1 = 126$
Формула n-го члена последовательности: $a_n = n^3 + 1$.
Чтобы найти следующий член последовательности, необходимо найти куб числа 6 и прибавить 1:
$6^3 + 1 = 216 + 1 = 217$.
Ответ: 217

37.24. а) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots;$

б) $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \frac{9}{10}, \frac{11}{12}, \dots;$

в) $1, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots;$

г) $\frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \frac{1}{7 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 13}, \dots$

а) Данная последовательность: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$. Обозначим члены последовательности как $a_n$, где $n$ - номер члена, начиная с $n=1$.
$a_1 = 1$
$a_2 = \frac{1}{2}$
$a_3 = \frac{1}{4}$
$a_4 = \frac{1}{8}$
$a_5 = \frac{1}{16}$
Заметим, что знаменатели являются степенями числа 2. Представим члены последовательности в виде дробей с числителем 1:
$a_1 = 1 = \frac{1}{2^0}$
$a_2 = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$
$a_3 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$
$a_4 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$
$a_5 = \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4}$
Из этого видно, что показатель степени в знаменателе на единицу меньше номера члена последовательности ($n-1$).
Следовательно, формула для n-го члена последовательности имеет вид $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ подтверждает наш вывод: $a_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$

б) Данная последовательность: $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \frac{9}{10}, \frac{11}{12}, \dots$.
Рассмотрим отдельно последовательность числителей и последовательность знаменателей.
Последовательность числителей: 3, 5, 7, 9, 11, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 3$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.
Последовательность знаменателей: 4, 6, 8, 10, 12, ... Это также арифметическая прогрессия с первым членом $z_1 = 4$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $z_n = z_1 + (n-1)d = 4 + (n-1) \cdot 2 = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$.
Таким образом, n-й член исходной последовательности $a_n$ равен отношению n-го члена последовательности числителей к n-му члену последовательности знаменателей.
Ответ: $a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$

в) Данная последовательность: $1, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots$.
Представим первый член как дробь $\frac{1}{1}$. Тогда последовательность имеет вид: $\frac{1}{1}, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots$.
Рассмотрим последовательность знаменателей: 1, 8, 27, 64, 125, ...
Заметим, что это кубы натуральных чисел, начиная с 1:
$1 = 1^3$
$8 = 2^3$
$27 = 3^3$
$64 = 4^3$
$125 = 5^3$
Следовательно, знаменатель n-го члена последовательности равен $n^3$. Числитель всех членов равен 1.
Таким образом, формула для n-го члена последовательности имеет вид $a_n = \frac{1}{n^3}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n^3}$

г) Данная последовательность: $\frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \frac{1}{7 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 13}, \dots$.
Числитель каждого члена равен 1. Знаменатель является произведением двух чисел.
Рассмотрим последовательность первых множителей в знаменателях: 3, 5, 7, 9, 11, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 3$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.
Рассмотрим последовательность вторых множителей в знаменателях: 5, 7, 9, 11, 13, ... Это также арифметическая прогрессия с первым членом $z_1 = 5$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $z_n = z_1 + (n-1)d = 5 + (n-1) \cdot 2 = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$.
Таким образом, знаменатель n-го члена исходной последовательности равен произведению n-х членов этих двух арифметических прогрессий: $(2n+1)(2n+3)$.
Формула для n-го члена исходной последовательности имеет вид $a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

37.25. a) $\frac{3}{4}, \frac{9}{16}, \frac{27}{64}, \frac{81}{256}, \frac{243}{1024}, \dots$;

б) $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots$;

в) $\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}, \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}, \frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}, \frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}, \frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}, \dots$;

г) $\frac{4}{1 \cdot 2 \cdot 3}, \frac{9}{2 \cdot 3 \cdot 4}, \frac{14}{3 \cdot 4 \cdot 5}, \frac{19}{4 \cdot 5 \cdot 6}, \frac{24}{5 \cdot 6 \cdot 7}, \dots$

а) Дана последовательность: $ \frac{3}{4}, \frac{9}{16}, \frac{27}{64}, \frac{81}{256}, \frac{243}{1024}, \dots $

Чтобы найти формулу n-го члена $a_n$, проанализируем числители и знаменатели отдельно.

Последовательность числителей: $3, 9, 27, 81, 243, \dots$ Это степени числа 3: $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, \dots$. Таким образом, числитель n-го члена равен $3^n$.

Последовательность знаменателей: $4, 16, 64, 256, 1024, \dots$ Это степени числа 4: $4^1, 4^2, 4^3, 4^4, 4^5, \dots$. Таким образом, знаменатель n-го члена равен $4^n$.

Объединяя числитель и знаменатель, получаем формулу для n-го члена последовательности: $a_n = \frac{3^n}{4^n} = \left(\frac{3}{4}\right)^n$.

Ответ: $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$

б) Дана последовательность: $ \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots $

Чтобы найти формулу n-го члена $b_n$, проанализируем числители и знаменатели отдельно.

Последовательность числителей: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ Это последовательность нечетных натуральных чисел. Формула для n-го нечетного числа: $2n - 1$.

Последовательность знаменателей: $\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, \dots$. Представим их в виде степеней числа $\sqrt{2}$:
$d_1 = \sqrt{2} = (\sqrt{2})^1$
$d_2 = 2 = (\sqrt{2})^2$
$d_3 = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$
$d_4 = 4 = (\sqrt{2})^4$
$d_5 = 4\sqrt{2} = (\sqrt{2})^5$
Таким образом, знаменатель n-го члена равен $(\sqrt{2})^n$.

Объединяя числитель и знаменатель, получаем формулу для n-го члена последовательности: $b_n = \frac{2n - 1}{(\sqrt{2})^n}$.

Ответ: $b_n = \frac{2n - 1}{(\sqrt{2})^n}$

в) Дана последовательность: $ \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}, -\frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}, \frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}, -\frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}, \frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}, \dots $

Чтобы найти формулу n-го члена $c_n$, проанализируем знак, числитель и знаменатель.

Знаки членов последовательности чередуются: $+, -, +, -, \dots$. Это соответствует множителю $(-1)^{n-1}$, так как для $n=1$ знак положительный.

Последовательность числителей (без учета знака): $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ Это квадраты натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots$. Таким образом, числитель n-го члена равен $n^2$.

Последовательность знаменателей: $\sqrt{1 \cdot 2}, \sqrt{2 \cdot 3}, \sqrt{3 \cdot 4}, \sqrt{4 \cdot 5}, \sqrt{5 \cdot 6}, \dots$. Подкоренное выражение для n-го члена является произведением $n$ и $n+1$. Следовательно, знаменатель n-го члена равен $\sqrt{n(n+1)}$.

Объединяя все компоненты, получаем формулу для n-го члена последовательности: $c_n = (-1)^{n-1} \frac{n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$.

Ответ: $c_n = (-1)^{n-1} \frac{n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$

г) Дана последовательность: $ \frac{4}{1 \cdot 2 \cdot 3}, \frac{9}{2 \cdot 3 \cdot 4}, \frac{14}{3 \cdot 4 \cdot 5}, \frac{19}{4 \cdot 5 \cdot 6}, \frac{24}{5 \cdot 6 \cdot 7}, \dots $

Чтобы найти формулу n-го члена $d_n$, проанализируем числители и знаменатели отдельно.

Последовательность числителей: $4, 9, 14, 19, 24, \dots$ Это арифметическая прогрессия. Её первый член $a_1 = 4$, а разность $d = 9 - 4 = 5$. Формула n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставляя наши значения, получаем: $4 + (n-1) \cdot 5 = 4 + 5n - 5 = 5n - 1$.

Последовательность знаменателей: $1 \cdot 2 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 4, 3 \cdot 4 \cdot 5, \dots$. Знаменатель n-го члена представляет собой произведение трех последовательных натуральных чисел, начиная с $n$. Таким образом, знаменатель n-го члена равен $n(n+1)(n+2)$.

Объединяя числитель и знаменатель, получаем формулу для n-го члена последовательности: $d_n = \frac{5n-1}{n(n+1)(n+2)}$.

Ответ: $d_n = \frac{5n-1}{n(n+1)(n+2)}$

37.26. Какие члены последовательности $ (y_n) $ расположены между членами:

а) $ y_{732} $ и $ y_{745} $;

б) $ y_{n-1} $ и $ y_{n+2} $;

в) $ y_{998} $ и $ y_{1003} $;

г) $ y_{2n-2} $ и $ y_{2n+3} $?

а)

Чтобы найти члены последовательности $(y_n)$, расположенные между $y_{732}$ и $y_{745}$, необходимо определить все члены $y_k$, номера которых $k$ удовлетворяют строгому неравенству $732 < k < 745$.

Поскольку номера членов последовательности являются натуральными числами, мы ищем все целые числа в этом интервале. Такими числами являются: $733, 734, 735, 736, 737, 738, 739, 740, 741, 742, 743, 744$.

Соответственно, искомые члены последовательности — это те, что имеют указанные номера.

Ответ: $y_{733}, y_{734}, y_{735}, y_{736}, y_{737}, y_{738}, y_{739}, y_{740}, y_{741}, y_{742}, y_{743}, y_{744}$.

б)

Требуется найти члены последовательности $(y_n)$, расположенные между $y_{n-1}$ и $y_{n+2}$. Это означает, что мы ищем члены $y_k$, где номер $k$ — целое число, удовлетворяющее неравенству $n-1 < k < n+2$.

Целыми числами, которые строго больше $n-1$ и строго меньше $n+2$, являются $n$ и $n+1$. Для того чтобы индекс $n-1$ был корректным (натуральным числом), должно выполняться условие $n-1 \ge 1$, то есть $n \ge 2$.

Следовательно, между данными членами находятся члены с номерами $n$ и $n+1$.

Ответ: $y_n, y_{n+1}$.

в)

Чтобы найти члены последовательности $(y_n)$, расположенные между $y_{998}$ и $y_{1003}$, мы ищем члены $y_k$ с номерами $k$, удовлетворяющими неравенству $998 < k < 1003$.

Целые числа, которые больше 998 и меньше 1003, это: $999, 1000, 1001, 1002$.

Соответствующие члены последовательности имеют эти номера.

Ответ: $y_{999}, y_{1000}, y_{1001}, y_{1002}$.

г)

Нам нужно найти члены последовательности $(y_n)$, расположенные между $y_{2n-2}$ и $y_{2n+3}$. Мы ищем члены $y_k$, где номер $k$ — целое число, удовлетворяющее неравенству $2n-2 < k < 2n+3$.

Целыми числами в этом интервале являются: $2n-1, 2n, 2n+1, 2n+2$. Для корректности индексов необходимо, чтобы $2n-2 \ge 1$, что означает $2n \ge 3$, или $n \ge 1.5$. Поскольку $n$ обычно является натуральным числом, это значит, что $n \ge 2$.

Таким образом, искомые члены последовательности имеют номера $2n-1, 2n, 2n+1$ и $2n+2$.

Ответ: $y_{2n-1}, y_{2n}, y_{2n+1}, y_{2n+2}$.

37.27. Укажите номер члена последовательности $y_n = \frac{2 - n}{5n + 1}$, равного:

а) $0$;

б) $-\frac{3}{26}$;

в) $-\frac{1}{6}$;

г) $-\frac{43}{226}$.

Для того чтобы найти номер $n$ члена последовательности $y_n = \frac{2-n}{5n+1}$, который равен заданному значению, необходимо приравнять формулу члена последовательности к этому значению и решить полученное уравнение относительно $n$. Важно помнить, что номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

а) 0;
Требуется найти $n$, для которого $y_n = 0$.
Составим уравнение:
$\frac{2-n}{5n+1} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$2 - n = 0 \implies n = 2$.
Проверим условие для знаменателя при $n=2$:
$5n + 1 = 5 \cdot 2 + 1 = 10 + 1 = 11 \ne 0$.
Условие выполняется. Так как $n=2$ является натуральным числом, это искомый номер.
Ответ: 2.

б) $-\frac{3}{26}$;
Требуется найти $n$, для которого $y_n = -\frac{3}{26}$.
Составим уравнение:
$\frac{2-n}{5n+1} = -\frac{3}{26}$
Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:
$26 \cdot (2 - n) = -3 \cdot (5n + 1)$
$52 - 26n = -15n - 3$
Сгруппируем слагаемые с $n$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$52 + 3 = 26n - 15n$
$55 = 11n$
$n = \frac{55}{11}$
$n = 5$.
Так как $n=5$ является натуральным числом, это искомый номер.
Ответ: 5.

в) $-\frac{1}{6}$;
Требуется найти $n$, для которого $y_n = -\frac{1}{6}$.
Составим уравнение:
$\frac{2-n}{5n+1} = -\frac{1}{6}$
По свойству пропорции:
$6 \cdot (2 - n) = -1 \cdot (5n + 1)$
$12 - 6n = -5n - 1$
Сгруппируем слагаемые:
$12 + 1 = 6n - 5n$
$13 = n$.
Так как $n=13$ является натуральным числом, это искомый номер.
Ответ: 13.

г) $-\frac{43}{226}$.
Требуется найти $n$, для которого $y_n = -\frac{43}{226}$.
Составим уравнение:
$\frac{2-n}{5n+1} = -\frac{43}{226}$
По свойству пропорции:
$226 \cdot (2 - n) = -43 \cdot (5n + 1)$
$452 - 226n = -215n - 43$
Сгруппируем слагаемые:
$452 + 43 = 226n - 215n$
$495 = 11n$
$n = \frac{495}{11}$
$n = 45$.
Так как $n=45$ является натуральным числом, это искомый номер.
Ответ: 45.

37.28. Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат таким образом, что вершины первого квадрата являются серединами сторон второго. Второй квадрат, аналогично, вписан в третий квадрат и т. д. Получается последовательность вписанных друг в друга квадратов.

а) Составьте последовательность периметров полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата?

г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата?

Для решения задачи сначала установим общую закономерность для сторон квадратов. Пусть $a_n$ — длина стороны $n$-го квадрата, а $a_{n+1}$ — длина стороны $(n+1)$-го квадрата. По условию, $n$-й квадрат вписан в $(n+1)$-й так, что его вершины находятся на серединах сторон $(n+1)$-го квадрата.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $n$-го квадрата (гипотенуза) и половинами сторон $(n+1)$-го квадрата (катеты). Длина катетов будет $a_{n+1}/2$. По теореме Пифагора:

$a_n^2 = \left(\frac{a_{n+1}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a_{n+1}}{2}\right)^2 = \frac{a_{n+1}^2}{4} + \frac{a_{n+1}^2}{4} = \frac{2a_{n+1}^2}{4} = \frac{a_{n+1}^2}{2}$

Отсюда следует, что $a_{n+1}^2 = 2a_n^2$, и, извлекая квадратный корень, получаем $a_{n+1} = a_n\sqrt{2}$.

Это означает, что последовательность длин сторон квадратов является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \sqrt{2}$. В условии сказано, что "квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат". Это значит, что первый член последовательности, $a_1$, равен 1 см. Таким образом, формула для длины стороны $n$-го квадрата имеет вид:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (\sqrt{2})^{n-1} = (\sqrt{2})^{n-1}$

а) Составьте последовательность периметров полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

Периметр $n$-го квадрата вычисляется по формуле $P_n = 4a_n$. Подставив выражение для $a_n$, получим:

$P_n = 4 \cdot (\sqrt{2})^{n-1}$

Последовательность периметров также является геометрической прогрессией с первым членом $P_1 = 4 \cdot 1 = 4$ и знаменателем $q = \sqrt{2}$. Найдем первые пять членов:

$P_1 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{1-1} = 4 \cdot 1 = 4$ см

$P_2 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{2-1} = 4\sqrt{2}$ см

$P_3 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{3-1} = 4 \cdot 2 = 8$ см

$P_4 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{4-1} = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см

$P_5 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{5-1} = 4 \cdot 4 = 16$ см

Ответ: последовательность периметров задается формулой $P_n = 4(\sqrt{2})^{n-1}$; первые пять членов: 4, $4\sqrt{2}$, 8, $8\sqrt{2}$, 16.

б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

Площадь $n$-го квадрата вычисляется по формуле $S_n = a_n^2$. Подставив выражение для $a_n$, получим:

$S_n = ((\sqrt{2})^{n-1})^2 = 2^{n-1}$

Последовательность площадей является геометрической прогрессией с первым членом $S_1 = 1$ и знаменателем $q_S = 2$. Найдем первые пять членов:

$S_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1$ см?

$S_2 = 2^{2-1} = 2^1 = 2$ см?

$S_3 = 2^{3-1} = 2^2 = 4$ см?

$S_4 = 2^{4-1} = 2^3 = 8$ см?

$S_5 = 2^{5-1} = 2^4 = 16$ см?

Ответ: последовательность площадей задается формулой $S_n = 2^{n-1}$; первые пять членов: 1, 2, 4, 8, 16.

в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата?

Для нахождения длины стороны одиннадцатого квадрата используем формулу $a_n = (\sqrt{2})^{n-1}$ при $n=11$:

$a_{11} = (\sqrt{2})^{11-1} = (\sqrt{2})^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^{10/2} = 2^5 = 32$

Ответ: длина стороны одиннадцатого квадрата равна 32 см.

г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата?

Для нахождения площади семнадцатого квадрата используем формулу $S_n = 2^{n-1}$ при $n=17$:

$S_{17} = 2^{17-1} = 2^{16}$

Вычислим значение $2^{16}$:

$2^{10} = 1024$

$2^6 = 64$

$S_{17} = 2^{10} \cdot 2^6 = 1024 \cdot 64 = 65536$

Ответ: площадь семнадцатого квадрата равна 65536 см?.