Страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

36.15. Пусть ${z, z^2, z^3, ..., z^n, z^{n+1}, ...}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит четвёртой координатной четверти.

в) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n = 1$.

г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

а) По формуле Муавра $n$-я степень комплексного числа $z = \cos(0,2\pi) + i \sin(0,2\pi)$ равна $z^n = \cos(0,2n\pi) + i \sin(0,2n\pi)$. Аргумент этого числа равен $0,2n\pi$. Комплексное число принадлежит второй координатной четверти, если его аргумент $\varphi$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \varphi < \pi$. С учётом периодичности, $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \arg(z^n) < \pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Подставим выражение для аргумента: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0,2n\pi < \pi + 2\pi k$.
Разделим неравенство на $0,2\pi$:$\frac{1}{2 \cdot 0,2} + \frac{2k}{0,2} < n < \frac{1}{0,2} + \frac{2k}{0,2}$
$2,5 + 10k < n < 5 + 10k$
Мы ищем наименьшее натуральное $n$, поэтому рассмотрим $k=0$:$2,5 < n < 5$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 3.
Ответ: 3

б) Комплексное число принадлежит четвёртой координатной четверти, если его аргумент $\varphi$ удовлетворяет неравенству $\frac{3\pi}{2} < \varphi < 2\pi$. С учётом периодичности, $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < \arg(z^n) < 2\pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Подставим $\arg(z^n) = 0,2n\pi$:$\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < 0,2n\pi < 2\pi + 2\pi k$
Разделим неравенство на $0,2\pi$:$\frac{1,5}{0,2} + \frac{2k}{0,2} < n < \frac{2}{0,2} + \frac{2k}{0,2}$
$7,5 + 10k < n < 10 + 10k$
Для нахождения наименьшего натурального $n$ положим $k=0$:$7,5 < n < 10$
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 8.
Ответ: 8

в) Равенство $z^n = 1$ выполняется, когда аргумент числа $z^n$ является целым кратным $2\pi$. Аргумент $z^n$ равен $0,2n\pi$.$0,2n\pi = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$0,2n = 2k$
$n = 10k$
Мы ищем наименьшее натуральное значение $n$. Оно достигается при наименьшем натуральном значении $k$, то есть при $k=1$.$n = 10 \cdot 1 = 10$
Ответ: 10

г) Последовательность членов прогрессии $z, z^2, z^3, \ldots$ является периодической. Период этой последовательности определяется наименьшим натуральным $p$, для которого $z^p = 1$. Из пункта в) мы знаем, что это значение $p=10$. Это означает, что $z^{n+10} = z^n \cdot z^{10} = z^n \cdot 1 = z^n$ для любого натурального $n$. Следовательно, в прогрессии существует не более 10 различных членов: $z^1, z^2, \ldots, z^{10}$. Чтобы доказать, что их ровно 10, нужно показать, что все эти 10 членов различны. Если бы нашлись такие $n_1$ и $n_2$, что $1 \le n_1 < n_2 \le 10$ и $z^{n_1} = z^{n_2}$, то из этого следовало бы $z^{n_2-n_1} = 1$. Но $1 \le n_2-n_1 \le 9$, что противоречит тому, что 10 — это наименьшая натуральная степень, в которой $z$ равен 1. Таким образом, все 10 членов $z^1, \ldots, z^{10}$ различны.
Ответ: 10

36.16. Пусть ${$z, z^2, z^3, \dots, z^n, z^{n+1}, \dots$}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0.03\pi + i \sin 0.03\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти.

в) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n = -1$.

г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

Дано комплексное число в тригонометрической форме $z = \cos(0,03\pi) + i \sin(0,03\pi)$. Модуль этого числа $|z|=1$, а аргумент $\arg(z) = \phi = 0,03\pi$.

Для нахождения $n$-ой степени комплексного числа $z$ воспользуемся формулой Муавра:

$z^n = (\cos(\phi) + i \sin(\phi))^n = \cos(n\phi) + i \sin(n\phi)$.

В нашем случае $z^n = \cos(n \cdot 0,03\pi) + i \sin(n \cdot 0,03\pi)$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = 0,03n\pi$.

Положение комплексного числа на координатной плоскости определяется его аргументом.

• I четверть: $2\pi k < \arg < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
• II четверть: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \arg < \pi + 2\pi k$
• III четверть: $\pi + 2\pi k < \arg < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < \arg < 2\pi + 2\pi k$

где $k$ — целое число.

а) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zⁿ принадлежит второй координатной четверти.

Комплексное число принадлежит второй координатной четверти, если его аргумент находится в интервале $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$ для некоторого целого $k$. Так как $n$ — натуральное число, аргумент $0,03n\pi$ положителен. Ищем наименьшее $n$, удовлетворяющее неравенству при $k=0$:

$\frac{\pi}{2} < 0,03n\pi < \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$\frac{1}{2} < 0,03n < 1$

$0,5 < 0,03n < 1$

Разделим на $0,03$:

$\frac{0,5}{0,03} < n < \frac{1}{0,03}$

$\frac{50}{3} < n < \frac{100}{3}$

$16\frac{2}{3} < n < 33\frac{1}{3}$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $17$.

Ответ: $17$

б) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zⁿ принадлежит третьей координатной четверти.

Комплексное число принадлежит третьей координатной четверти, если его аргумент находится в интервале $(\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$. Ищем наименьшее натуральное $n$ при $k=0$:

$\pi < 0,03n\pi < \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$1 < 0,03n < \frac{3}{2}$

$1 < 0,03n < 1,5$

Разделим на $0,03$:

$\frac{1}{0,03} < n < \frac{1,5}{0,03}$

$\frac{100}{3} < n < \frac{150}{3}$

$33\frac{1}{3} < n < 50$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $34$.

Ответ: $34$

в) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zⁿ = -1.

Равенство $z^n = -1$ означает, что $z^n$ — это комплексное число с модулем $1$ и аргументом $\pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Модуль $|z^n|=|z|^n=1^n=1$ для любого $n$. Приравняем аргументы:

$\arg(z^n) = \pi + 2\pi k$

$0,03n\pi = (1 + 2k)\pi$

Разделим на $\pi$:

$0,03n = 1 + 2k$

$n = \frac{1+2k}{0,03} = \frac{100(1+2k)}{3}$

Так как $n$ должно быть натуральным числом, $100(1+2k)$ должно быть кратно $3$. Поскольку $100$ и $3$ взаимно просты, $1+2k$ должно быть кратно $3$. Ищем наименьшее натуральное $n$, поэтому перебираем целые неотрицательные значения $k$ (так как $n > 0$, то $1+2k > 0$, что верно для $k \ge 0$).

При $k=0$, $1+2k=1$, не кратно $3$.

При $k=1$, $1+2k=3$, кратно $3$.

Подставим $k=1$ в формулу для $n$:

$n = \frac{100(1+2 \cdot 1)}{3} = \frac{100 \cdot 3}{3} = 100$

Это и есть наименьшее искомое натуральное значение $n$.

Ответ: $100$

г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

Числа в последовательности $z^n$ начинают повторяться, когда при некотором наименьшем натуральном $p$ (периоде) выполняется равенство $z^p = 1$. Условие $z^p=1$ означает, что аргумент $z^p$ должен быть кратен $2\pi$.

$\arg(z^p) = 0,03p\pi = 2\pi k$ для некоторого натурального $k$.

$0,03p = 2k$

$p = \frac{2k}{0,03} = \frac{200k}{3}$

Чтобы $p$ было наименьшим натуральным числом, нужно, чтобы $k$ было наименьшим натуральным числом, при котором $200k$ делится на $3$. Так как $200$ и $3$ взаимно просты, наименьшее такое $k$ — это $k=3$.

При $k=3$ получаем период $p = \frac{200 \cdot 3}{3} = 200$.

Это означает, что $z^{200}=1$, и далее значения повторяются: $z^{201}=z^1$, $z^{202}=z^2$ и т.д. Все члены прогрессии с $n=1$ до $n=200$ различны, так как для $1 \le m < n \le 200$ разность $n-m$ не может быть кратной $200$. Следовательно, в прогрессии ровно $200$ различных чисел.

Ответ: $200$

36.17. Пусть ${z, z^2, z^3, ..., z^n, z^{n+1}, ...}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем ${z = \cos 0.1\pi - i \sin 0.1\pi}$.

a) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти.

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

г) Найдите сумму этих различных чисел.

Дана бесконечная геометрическая прогрессия $\{z, z^2, z^3, \dots\}$ со знаменателем $z = \cos(0.1\pi) - i\sin(0.1\pi)$. Представим знаменатель $z$ в стандартной тригонометрической форме $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Используя свойства чётности косинуса и нечётности синуса, получаем: $z = \cos(-0.1\pi) + i\sin(-0.1\pi)$. Модуль этого комплексного числа $|z| = \sqrt{\cos^2(-0.1\pi) + \sin^2(-0.1\pi)} = 1$. Аргумент $\arg(z) = -0.1\pi$. Общий член прогрессии $z^n$ можно найти по формуле Муавра: $z^n = (\cos(-0.1\pi) + i\sin(-0.1\pi))^n = \cos(-0.1n\pi) + i\sin(-0.1n\pi)$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = -0.1n\pi$. Все члены прогрессии лежат на единичной окружности.

Комплексное число принадлежит третьей координатной четверти, если его действительная и мнимая части отрицательны. Для $z^n = \cos(-0.1n\pi) + i\sin(-0.1n\pi)$ это означает, что $\cos(-0.1n\pi) < 0$ и $\sin(-0.1n\pi) < 0$. Это условие выполняется, когда аргумент числа, $\varphi_n = -0.1n\pi$, находится в третьей четверти. Углы третьей четверти $\varphi$ удовлетворяют неравенству $\pi + 2\pi k < \varphi < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ для любого целого $k$. Поскольку $n$ — натуральное число, аргумент $\varphi_n = -0.1n\pi$ является отрицательным. Мы ищем наименьшее $n$, поэтому нас интересует первый такой интервал для отрицательных углов, который достигается при вращении по часовой стрелке. Этот интервал соответствует $k=-1$, то есть $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$. Составим двойное неравенство для $n$: $-\pi < -0.1n\pi < -\frac{\pi}{2}$. Разделим все части неравенства на $-\pi$ (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные): $1 > 0.1n > \frac{1}{2}$. Умножим на 10: $10 > n > 5$. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 6.

Ответ: 6

Комплексное число принадлежит второй координатной четверти, если его действительная часть отрицательна, а мнимая — положительна. Для $z^n$ это означает, что $\cos(-0.1n\pi) < 0$ и $\sin(-0.1n\pi) > 0$. Это условие выполняется, когда аргумент $\varphi_n = -0.1n\pi$ находится во второй четверти. Углы второй четверти $\varphi$ удовлетворяют неравенству $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \varphi < \pi + 2\pi k$ для любого целого $k$. Продолжая вращение по часовой стрелке от $-\pi$, следующий интересующий нас интервал будет соответствовать $k=-1$, то есть $(\frac{\pi}{2} - 2\pi, \pi - 2\pi) = (-\frac{3\pi}{2}, -\pi)$. Составим двойное неравенство для $n$: $-\frac{3\pi}{2} < -0.1n\pi < -\pi$. Разделим все части на $-\pi$: $\frac{3}{2} > 0.1n > 1$. Умножим на 10: $15 > n > 10$. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 11.

Ответ: 11

Члены прогрессии $z, z^2, z^3, \dots$ начинают повторяться, когда для некоторых натуральных $m$ и $n$ ($n > m$) выполняется равенство $z^n = z^m$. Это равенство эквивалентно $z^{n-m} = 1$. Найдём наименьшее натуральное $k = n-m$, для которого $z^k = 1$. $z^k = \cos(-0.1k\pi) + i\sin(-0.1k\pi) = 1$. Равенство $1$ достигается, когда аргумент является целым кратным $2\pi$: $-0.1k\pi = 2\pi j$ для некоторого целого $j$. Отсюда $-0.1k = 2j$, или $k = -20j$. Поскольку $k$ должно быть наименьшим натуральным числом, мы выбираем $j = -1$, что даёт $k = 20$. Это означает, что последовательность значений членов прогрессии периодична с периодом 20. Таким образом, в прогрессии существует ровно 20 различных чисел, которыми являются $z^1, z^2, \ldots, z^{20}$. При $n > 20$ значения начинают повторяться: $z^{21} = z^{20} \cdot z = 1 \cdot z = z^1$, и так далее.

Ответ: 20

Нам нужно найти сумму всех различных членов прогрессии: $S = z + z^2 + z^3 + \dots + z^{20}$. Эта сумма представляет собой сумму первых 20 членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = z$ и знаменателем $q = z$. Воспользуемся формулой суммы конечной геометрической прогрессии $S_N = \frac{b_1(q^N - 1)}{q-1}$. Для нашего случая $N=20$: $S = \frac{z(z^{20} - 1)}{z - 1}$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $z^{20} = 1$. Подставим это значение в формулу: $S = \frac{z(1 - 1)}{z - 1} = \frac{z \cdot 0}{z - 1}$. Поскольку $z = \cos(-0.1\pi) + i\sin(-0.1\pi) \neq 1$, знаменатель $z-1$ не равен нулю. Следовательно, сумма равна 0.

Ответ: 0

36.18. Пусть $\{z, z^2, z^3, ..., z^n, z^{n+1}, ...\}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0,01\pi - i \sin 0,01\pi$.

a) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

б) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат?

г) Найдите сумму этих различных чисел.

Данное комплексное число $z$ представим в тригонометрической форме. Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем: $z = \cos(0,01\pi) - i \sin(0,01\pi) = \cos(-0,01\pi) + i \sin(-0,01\pi)$. Модуль числа $|z| = \sqrt{\cos^2(-0,01\pi) + \sin^2(-0,01\pi)} = 1$. Аргумент $\arg(z) = -0,01\pi$. Общий член прогрессии $z^n$ находится по формуле Муавра: $z^n = (\cos(-0,01\pi) + i \sin(-0,01\pi))^n = \cos(-0,01n\pi) + i \sin(-0,01n\pi)$. Действительная часть $z^n$ равна $\text{Re}(z^n) = \cos(-0,01n\pi) = \cos(0,01n\pi)$. Мнимая часть $z^n$ равна $\text{Im}(z^n) = \sin(-0,01n\pi) = -\sin(0,01n\pi)$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором z^n принадлежит второй координатной четверти.

Комплексное число принадлежит второй координатной четверти, если его действительная часть отрицательна, а мнимая — положительна. Для $z^n$ должны выполняться условия: 1. $\text{Re}(z^n) < 0 \implies \cos(0,01n\pi) < 0$. 2. $\text{Im}(z^n) > 0 \implies -\sin(0,01n\pi) > 0 \implies \sin(0,01n\pi) < 0$. Рассмотрим каждое условие отдельно. 1. Неравенство $\cos(\alpha) < 0$ выполняется, когда угол $\alpha$ находится во второй или третьей четверти, то есть $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ для целых $k$. В нашем случае $\alpha = 0,01n\pi$: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0,01n\pi < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. Делим на $\pi$: $0,5 + 2k < 0,01n < 1,5 + 2k$. Умножаем на 100: $50 + 200k < n < 150 + 200k$. 2. Неравенство $\sin(\alpha) < 0$ выполняется, когда угол $\alpha$ находится в третьей или четвертой четверти, то есть $\pi + 2\pi m < \alpha < 2\pi + 2\pi m$ для целых $m$. Для $\alpha = 0,01n\pi$: $\pi + 2\pi m < 0,01n\pi < 2\pi + 2\pi m$. Делим на $\pi$: $1 + 2m < 0,01n < 2 + 2m$. Умножаем на 100: $100 + 200m < n < 200 + 200m$. Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее обеим системам неравенств. Для этого найдем пересечение полученных интервалов при наименьших неотрицательных целых $k$ и $m$. При $k=0$ и $m=0$: $n \in (50, 150)$ и $n \in (100, 200)$. Пересечением этих интервалов является интервал $(100, 150)$. Наименьшее натуральное число $n$ в этом интервале — это $n=101$.
Ответ: 101.

б) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

Различные члены прогрессии $z^n$ определяются различными значениями их аргументов по модулю $2\pi$. Аргумент $z^n$ равен $-0,01n\pi$. Два члена прогрессии $z^n$ и $z^m$ совпадают, если $z^n = z^m$, что для чисел с модулем 1 эквивалентно тому, что их аргументы отличаются на кратное $2\pi$: $-0,01n\pi = -0,01m\pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Разделим на $\pi$: $-0,01n = -0,01m + 2k$. $0,01(m-n) = 2k$. $m-n = \frac{2k}{0,01} = 200k$. Это означает, что последовательность значений $z^n$ периодична с периодом 200. То есть $z^{n+200} = z^n$. Следовательно, в прогрессии ровно 200 различных чисел, которые соответствуют значениям $n$ от 1 до 200. Если $1 \le n < m \le 200$, то $0 < m-n < 200$, и $m-n$ не может быть кратно 200. Значит, все эти 200 чисел различны. При $n > 200$ значения начинают повторяться.
Ответ: 200.

в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат?

Число лежит на оси координат, если его действительная или мнимая часть равна нулю. Мы ищем количество таких чисел среди 200 различных членов прогрессии ($n=1, 2, ..., 200$). 1. Число лежит на мнимой оси, если $\text{Re}(z^n) = 0$. $\cos(0,01n\pi) = 0 \implies 0,01n\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для целых $k$. $0,01n = 0,5 + k \implies n = 50 + 100k$. Для $n \in [1, 200]$ подходят значения $k=0 \implies n=50$ и $k=1 \implies n=150$. Всего два числа. 2. Число лежит на действительной оси, если $\text{Im}(z^n) = 0$. $-\sin(0,01n\pi) = 0 \implies 0,01n\pi = \pi k$ для целых $k$. $0,01n = k \implies n = 100k$. Для $n \in [1, 200]$ подходят значения $k=1 \implies n=100$ и $k=2 \implies n=200$. Всего два числа. Так как ни одно из этих чисел не может лежать на обеих осях одновременно (поскольку $|z^n|=1$), общее количество чисел на осях координат равно $2+2=4$.
Ответ: 4.

г) Найдите сумму этих различных чисел.

Нужно найти сумму 200 различных членов прогрессии: $S = z^1 + z^2 + ... + z^{200}$. Это сумма первых 200 членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=z$ и знаменателем $q=z$. По формуле суммы конечной геометрической прогрессии: $S_{N} = b_1 \frac{1-q^{N}}{1-q}$. $S_{200} = z \frac{1-z^{200}}{1-z}$. Найдем значение $z^{200}$: $z^{200} = \cos(-0,01 \cdot 200 \pi) + i \sin(-0,01 \cdot 200 \pi) = \cos(-2\pi) + i \sin(-2\pi) = 1 + 0i = 1$. Подставим это значение в формулу суммы: $S_{200} = z \frac{1-1}{1-z} = z \frac{0}{1-z}$. Поскольку $z = \cos(-0,01\pi) + i \sin(-0,01\pi) \ne 1$, знаменатель $1-z$ не равен нулю. Следовательно, сумма равна $0$.
Ответ: 0.

36.19. Пусть $z = 1 + i$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^{11}, z^{12}\}$ лежат:

а) на оси абсцисс;

б) правее прямой $x = 9$;

в) левее оси ординат;

г) выше прямой $y = 2$?

Для решения задачи представим комплексное число $z = 1 + i$ в тригонометрической (или показательной) форме. Это упростит возведение в степень.

Модуль числа $z$: $r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Аргумент числа $z$: $\phi = \arg(z) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$ (поскольку точка (1, 1) находится в I координатной четверти).

Таким образом, $z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.

Для возведения в степень $n$ используем формулу Муавра:

$z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi)) = (\sqrt{2})^n\left(\cos\frac{n\pi}{4} + i\sin\frac{n\pi}{4}\right)$.

Комплексное число $z^n$ можно представить в виде $z^n = x_n + iy_n$, где его действительная часть $x_n = \text{Re}(z^n) = (\sqrt{2})^n\cos\frac{n\pi}{4}$ и мнимая часть $y_n = \text{Im}(z^n) = (\sqrt{2})^n\sin\frac{n\pi}{4}$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x_n, y_n)$.

Рассмотрим каждый из вопросов для $n \in \{1, 2, \dots, 12\}$.

а) на оси абсцисс

Число лежит на оси абсцисс (оси $Ox$), если его мнимая часть равна нулю: $y_n = \text{Im}(z^n) = 0$.

Получаем уравнение: $y_n = (\sqrt{2})^n\sin\frac{n\pi}{4} = 0$.

Поскольку $(\sqrt{2})^n \neq 0$, должно выполняться равенство $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$.

Это верно, когда аргумент синуса кратен $\pi$: $\frac{n\pi}{4} = k\pi$, где $k$ – целое число. Отсюда $n = 4k$.

Ищем значения $n$ в диапазоне от 1 до 12, которые кратны 4:

• При $k=1 \implies n=4$.
• При $k=2 \implies n=8$.
• При $k=3 \implies n=12$.

Следовательно, на оси абсцисс лежат числа $z^4$, $z^8$ и $z^{12}$.

Ответ: $z^4 = -4$, $z^8 = 16$, $z^{12} = -64$.

б) правее прямой $x = 9$

Число лежит правее прямой $x=9$, если его действительная часть больше 9: $x_n = \text{Re}(z^n) > 9$.

Проверим неравенство $x_n = (\sqrt{2})^n\cos\frac{n\pi}{4} > 9$ для $n=1, \dots, 12$.

• $n \le 7$: Максимальное значение действительной части достигается при $n=7$, $x_7 = (\sqrt{2})^7\cos\frac{7\pi}{4} = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8$. Это меньше 9.
• $n=8: x_8 = (\sqrt{2})^8\cos\frac{8\pi}{4} = 16\cos(2\pi) = 16 \cdot 1 = 16$. Так как $16 > 9$, $z^8$ удовлетворяет условию.
• $n=9: x_9 = (\sqrt{2})^9\cos\frac{9\pi}{4} = 16\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16$. Так как $16 > 9$, $z^9$ удовлетворяет условию.
• $n \ge 10$: Для $n=10, 11, 12$ значения $\cos\frac{n\pi}{4}$ будут равны $0, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -1$ соответственно, что дает отрицательные или нулевые значения для $x_n$.

Таким образом, условию удовлетворяют числа $z^8$ и $z^9$.

Ответ: $z^8=16$, $z^9 = 16+16i$.

в) левее оси ординат

Число лежит левее оси ординат (оси $Oy$), если его действительная часть отрицательна: $x_n = \text{Re}(z^n) < 0$.

Неравенство $x_n = (\sqrt{2})^n\cos\frac{n\pi}{4} < 0$ выполняется, когда $\cos\frac{n\pi}{4} < 0$.

Косинус отрицателен, когда его аргумент находится во второй или третьей четверти, т.е. $\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \frac{n\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.

Разделив на $\pi$ и умножив на 4, получаем: $2 + 8k < n < 6 + 8k$.

• При $k=0$: $2 < n < 6$. Этому условию удовлетворяют $n=3, 4, 5$.
• При $k=1$: $10 < n < 14$. Этому условию для $n \le 12$ удовлетворяют $n=11, 12$.

Следовательно, левее оси ординат лежат числа $z^3, z^4, z^5, z^{11}, z^{12}$.

Ответ: $z^3 = -2+2i$, $z^4 = -4$, $z^5 = -4-4i$, $z^{11} = -32+32i$, $z^{12} = -64$.

г) выше прямой $y = 2$

Число лежит выше прямой $y=2$, если его мнимая часть больше 2: $y_n = \text{Im}(z^n) > 2$.

Проверим неравенство $y_n = (\sqrt{2})^n\sin\frac{n\pi}{4} > 2$ для $n=1, \dots, 12$.

• $n=1: y_1 = \sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = 1$. Не подходит.
• $n=2: y_2 = (\sqrt{2})^2\sin(\frac{2\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$. Не подходит (не строго больше).
• $n=3: y_3 = (\sqrt{2})^3\sin(\frac{3\pi}{4}) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$. Не подходит.
• $n=4, 5, 6, 7, 8$: Значения $\sin\frac{n\pi}{4}$ неположительны, поэтому $y_n \le 0$.
• $n=9: y_9 = (\sqrt{2})^9\sin\frac{9\pi}{4} = 16\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16$. Так как $16 > 2$, $z^9$ подходит.
• $n=10: y_{10} = (\sqrt{2})^{10}\sin\frac{10\pi}{4} = 32\sin(\frac{5\pi}{2}) = 32 \cdot 1 = 32$. Так как $32 > 2$, $z^{10}$ подходит.
• $n=11: y_{11} = (\sqrt{2})^{11}\sin\frac{11\pi}{4} = 32\sqrt{2}\sin(\frac{3\pi}{4}) = 32\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 32$. Так как $32 > 2$, $z^{11}$ подходит.
• $n=12: y_{12} = (\sqrt{2})^{12}\sin(3\pi) = 0$. Не подходит.

Таким образом, условию удовлетворяют числа $z^9, z^{10}, z^{11}$.

Ответ: $z^9=16+16i$, $z^{10}=32i$, $z^{11}=-32+32i$.