Номер 36.19, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.19. Пусть $z = 1 + i$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^{11}, z^{12}\}$ лежат:

а) на оси абсцисс;

б) правее прямой $x = 9$;

в) левее оси ординат;

г) выше прямой $y = 2$?

Для решения задачи представим комплексное число $z = 1 + i$ в тригонометрической (или показательной) форме. Это упростит возведение в степень.

Модуль числа $z$: $r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Аргумент числа $z$: $\phi = \arg(z) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$ (поскольку точка (1, 1) находится в I координатной четверти).

Таким образом, $z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.

Для возведения в степень $n$ используем формулу Муавра:

$z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi)) = (\sqrt{2})^n\left(\cos\frac{n\pi}{4} + i\sin\frac{n\pi}{4}\right)$.

Комплексное число $z^n$ можно представить в виде $z^n = x_n + iy_n$, где его действительная часть $x_n = \text{Re}(z^n) = (\sqrt{2})^n\cos\frac{n\pi}{4}$ и мнимая часть $y_n = \text{Im}(z^n) = (\sqrt{2})^n\sin\frac{n\pi}{4}$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x_n, y_n)$.

Рассмотрим каждый из вопросов для $n \in \{1, 2, \dots, 12\}$.

а) на оси абсцисс

Число лежит на оси абсцисс (оси $Ox$), если его мнимая часть равна нулю: $y_n = \text{Im}(z^n) = 0$.

Получаем уравнение: $y_n = (\sqrt{2})^n\sin\frac{n\pi}{4} = 0$.

Поскольку $(\sqrt{2})^n \neq 0$, должно выполняться равенство $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$.

Это верно, когда аргумент синуса кратен $\pi$: $\frac{n\pi}{4} = k\pi$, где $k$ – целое число. Отсюда $n = 4k$.

Ищем значения $n$ в диапазоне от 1 до 12, которые кратны 4:

• При $k=1 \implies n=4$.
• При $k=2 \implies n=8$.
• При $k=3 \implies n=12$.

Следовательно, на оси абсцисс лежат числа $z^4$, $z^8$ и $z^{12}$.

Ответ: $z^4 = -4$, $z^8 = 16$, $z^{12} = -64$.

б) правее прямой $x = 9$

Число лежит правее прямой $x=9$, если его действительная часть больше 9: $x_n = \text{Re}(z^n) > 9$.

Проверим неравенство $x_n = (\sqrt{2})^n\cos\frac{n\pi}{4} > 9$ для $n=1, \dots, 12$.

• $n \le 7$: Максимальное значение действительной части достигается при $n=7$, $x_7 = (\sqrt{2})^7\cos\frac{7\pi}{4} = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8$. Это меньше 9.
• $n=8: x_8 = (\sqrt{2})^8\cos\frac{8\pi}{4} = 16\cos(2\pi) = 16 \cdot 1 = 16$. Так как $16 > 9$, $z^8$ удовлетворяет условию.
• $n=9: x_9 = (\sqrt{2})^9\cos\frac{9\pi}{4} = 16\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16$. Так как $16 > 9$, $z^9$ удовлетворяет условию.
• $n \ge 10$: Для $n=10, 11, 12$ значения $\cos\frac{n\pi}{4}$ будут равны $0, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -1$ соответственно, что дает отрицательные или нулевые значения для $x_n$.

Таким образом, условию удовлетворяют числа $z^8$ и $z^9$.

Ответ: $z^8=16$, $z^9 = 16+16i$.

в) левее оси ординат

Число лежит левее оси ординат (оси $Oy$), если его действительная часть отрицательна: $x_n = \text{Re}(z^n) < 0$.

Неравенство $x_n = (\sqrt{2})^n\cos\frac{n\pi}{4} < 0$ выполняется, когда $\cos\frac{n\pi}{4} < 0$.

Косинус отрицателен, когда его аргумент находится во второй или третьей четверти, т.е. $\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \frac{n\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.

Разделив на $\pi$ и умножив на 4, получаем: $2 + 8k < n < 6 + 8k$.

• При $k=0$: $2 < n < 6$. Этому условию удовлетворяют $n=3, 4, 5$.
• При $k=1$: $10 < n < 14$. Этому условию для $n \le 12$ удовлетворяют $n=11, 12$.

Следовательно, левее оси ординат лежат числа $z^3, z^4, z^5, z^{11}, z^{12}$.

Ответ: $z^3 = -2+2i$, $z^4 = -4$, $z^5 = -4-4i$, $z^{11} = -32+32i$, $z^{12} = -64$.

г) выше прямой $y = 2$

Число лежит выше прямой $y=2$, если его мнимая часть больше 2: $y_n = \text{Im}(z^n) > 2$.

Проверим неравенство $y_n = (\sqrt{2})^n\sin\frac{n\pi}{4} > 2$ для $n=1, \dots, 12$.

• $n=1: y_1 = \sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = 1$. Не подходит.
• $n=2: y_2 = (\sqrt{2})^2\sin(\frac{2\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$. Не подходит (не строго больше).
• $n=3: y_3 = (\sqrt{2})^3\sin(\frac{3\pi}{4}) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$. Не подходит.
• $n=4, 5, 6, 7, 8$: Значения $\sin\frac{n\pi}{4}$ неположительны, поэтому $y_n \le 0$.
• $n=9: y_9 = (\sqrt{2})^9\sin\frac{9\pi}{4} = 16\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16$. Так как $16 > 2$, $z^9$ подходит.
• $n=10: y_{10} = (\sqrt{2})^{10}\sin\frac{10\pi}{4} = 32\sin(\frac{5\pi}{2}) = 32 \cdot 1 = 32$. Так как $32 > 2$, $z^{10}$ подходит.
• $n=11: y_{11} = (\sqrt{2})^{11}\sin\frac{11\pi}{4} = 32\sqrt{2}\sin(\frac{3\pi}{4}) = 32\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 32$. Так как $32 > 2$, $z^{11}$ подходит.
• $n=12: y_{12} = (\sqrt{2})^{12}\sin(3\pi) = 0$. Не подходит.

Таким образом, условию удовлетворяют числа $z^9, z^{10}, z^{11}$.

Ответ: $z^9=16+16i$, $z^{10}=32i$, $z^{11}=-32+32i$.