Номер 37.1, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.1. Являются ли числовыми последовательностями следующие функции:

а) $y = 3x^2 + 5, x \in \mathbf{Z};$

б) $y = \sin x, x \in [0; 2\pi];$

в) $y = 7 - x^2, x \in \mathbf{Q};$

г) $y = \cos \frac{x}{2}, x \in \mathbf{N}?$

Числовая последовательность — это функция, область определения которой есть множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Каждому натуральному числу $n$ (номеру члена последовательности) ставится в соответствие некоторое число $y_n$ (член последовательности). Таким образом, мы должны проверить, является ли область определения ($x$) каждой из предложенных функций множеством натуральных чисел.

а) Функция задана формулой $y = 3x^2 + 5$ с областью определения $x \in Z$.

Область определения — множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Это множество не является множеством натуральных чисел $N$, поскольку содержит ноль и отрицательные числа. Следовательно, данная функция не является числовой последовательностью в стандартном определении.

Ответ: Нет.

б) Функция задана формулой $y = \sin x$ с областью определения $x \in [0; 2\pi]$.

Область определения — это отрезок $[0; 2\pi]$, который включает в себя все действительные числа от $0$ до $2\pi$. Это множество является непрерывным (континуальным), а не дискретным множеством натуральных чисел. Следовательно, данная функция не является числовой последовательностью.

Ответ: Нет.

в) Функция задана формулой $y = 7 - x^2$ с областью определения $x \in Q$.

Область определения — множество рациональных чисел $Q$. Это множество содержит не только натуральные числа, но и дроби, отрицательные числа, ноль. Так как область определения не совпадает с множеством натуральных чисел $N$, данная функция не является числовой последовательностью.

Ответ: Нет.

г) Функция задана формулой $y = \cos\frac{x}{2}$ с областью определения $x \in N$.

Область определения — множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Это полностью соответствует определению числовой последовательности. Каждому натуральному числу $x=n$ ставится в соответствие значение функции $y_n = \cos\frac{n}{2}$.

Ответ: Да.