Номер 37.3, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.3. Задайте последовательность аналитически и найдите её первые пять членов, если:

a) каждому натуральному числу ставится в соответствие противоположное ему число;

б) каждому натуральному числу ставится в соответствие квадратный корень из этого числа;

в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число -5;

г) каждому натуральному числу ставится в соответствие половина его квадрата.

По заданной формуле $n$-го члена вычислите первые пять членов последовательности $(y_n)$:

а) По условию, каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие противоположное ему число. Это значит, что $n$-й член последовательности, который мы обозначим как $a_n$, равен $-n$.

Аналитически данная последовательность задается формулой: $a_n = -n$.

Теперь найдем первые пять членов этой последовательности, подставляя последовательно $n=1, 2, 3, 4, 5$:

$a_1 = -1$

$a_2 = -2$

$a_3 = -3$

$a_4 = -4$

$a_5 = -5$

Ответ: последовательность задается аналитически формулой $a_n = -n$, а ее первые пять членов: -1, -2, -3, -4, -5.

б) Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие квадратный корень из этого числа. Следовательно, формула $n$-го члена последовательности имеет вид: $a_n = \sqrt{n}$.

Вычислим первые пять членов:

$a_1 = \sqrt{1} = 1$

$a_2 = \sqrt{2}$

$a_3 = \sqrt{3}$

$a_4 = \sqrt{4} = 2$

$a_5 = \sqrt{5}$

Ответ: последовательность задается аналитически формулой $a_n = \sqrt{n}$, а ее первые пять членов: 1, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, 2, $\sqrt{5}$.

в) Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие число -5. Это означает, что все члены последовательности равны -5, независимо от их номера $n$. Такая последовательность называется стационарной (постоянной).

Аналитическая формула последовательности: $a_n = -5$.

Первые пять членов последовательности:

$a_1 = -5$

$a_2 = -5$

$a_3 = -5$

$a_4 = -5$

$a_5 = -5$

Ответ: последовательность задается аналитически формулой $a_n = -5$, а ее первые пять членов: -5, -5, -5, -5, -5.

г) Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие половина его квадрата. Квадрат числа $n$ равен $n^2$, а его половина — $\frac{n^2}{2}$.

Таким образом, аналитическая формула последовательности: $a_n = \frac{n^2}{2}$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$a_1 = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a_3 = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$

$a_4 = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$a_5 = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}$

Ответ: последовательность задается аналитически формулой $a_n = \frac{n^2}{2}$, а ее первые пять членов: $\frac{1}{2}$, 2, $\frac{9}{2}$, 8, $\frac{25}{2}$.