Номер 36.22, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.22. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число $z_0$, у которого $|z_0|=1$ и $-\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < 0$.

а) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий четвёртой координатной четверти.

б) Изобразите множество $\sqrt[3]{z_0}$.

в) Объясните, почему у уравнения $z^3 = z_0$ нет корней, расположенных в первой четверти.

г) Найдите площадь треугольника с вершинами в точках из пункта б).

Для решения задачи сначала определим свойства заданного комплексного числа $z_0$. По условию, его модуль $|z_0| = 1$, а его аргумент $\phi = \arg(z_0)$ удовлетворяет неравенству $-\frac{\pi}{2} < \phi < 0$. Это означает, что число $z_0$ лежит на единичной окружности в четвёртой координатной четверти. В показательной форме число можно записать как $z_0 = e^{i\phi}$.

а) Требуется найти корень уравнения $z^3 = z_0$, который принадлежит четвёртой координатной четверти. Решение этого уравнения эквивалентно нахождению кубических корней из $z_0$. Представим искомый корень $z$ в показательной форме: $z = re^{i\theta}$. Тогда его куб равен $z^3 = r^3e^{i3\theta}$. Приравниваем $z^3$ и $z_0$: $r^3e^{i3\theta} = 1 \cdot e^{i\phi}$. Из этого равенства комплексных чисел в показательной форме следуют два условия: 1. Равенство модулей: $r^3 = 1$, откуда $r=1$. 2. Равенство аргументов (с учётом периодичности): $3\theta = \phi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Отсюда находим аргументы корней: $\theta_k = \frac{\phi + 2\pi k}{3}$. Для получения всех различных корней достаточно взять $k=0, 1, 2$:

• При $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{3}$.
• При $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{3} + \frac{2\pi}{3}$.
• При $k=2$: $\theta_2 = \frac{\phi}{3} + \frac{4\pi}{3}$.

Теперь определим, какой из корней находится в четвёртой четверти. Аргумент такого числа должен лежать в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. Используя данное в условии неравенство $-\frac{\pi}{2} < \phi < 0$, найдём интервал для $\theta_0$: $-\frac{\pi}{6} < \frac{\phi}{3} < 0$. Так как интервал $(-\frac{\pi}{6}, 0)$ полностью содержится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, корень $z_1 = e^{i\theta_0} = e^{i\phi/3}$ принадлежит четвёртой четверти. Рассмотрим другие корни: $\theta_1$ будет во второй четверти, а $\theta_2$ — в третьей (что показано в пункте в)).

Ответ: Корень, принадлежащий четвёртой координатной четверти, — это комплексное число $z_1$ с модулем, равным 1, и аргументом $\arg(z_1) = \frac{\arg(z_0)}{3}$. На комплексной плоскости он изображается как точка на единичной окружности в четвёртой четверти.

б) Множество $\sqrt[3]{z_0}$ — это совокупность всех трёх кубических корней из числа $z_0$. Как мы нашли в пункте а), это три числа: $z_1 = e^{i\frac{\phi}{3}}$, $z_2 = e^{i(\frac{\phi}{3} + \frac{2\pi}{3})}$, $z_3 = e^{i(\frac{\phi}{3} + \frac{4\pi}{3})}$. Все три корня имеют модуль 1, поэтому на комплексной плоскости они расположены на единичной окружности. Их аргументы отличаются друг от друга на $\frac{2\pi}{3}$ радиан (или 120°). Геометрически эти три точки являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в единичную окружность.

Ответ: Множество $\sqrt[3]{z_0}$ изображается на комплексной плоскости в виде трёх точек, являющихся вершинами правильного треугольника, вписанного в единичную окружность с центром в начале координат.

в) Чтобы объяснить, почему у уравнения $z^3 = z_0$ нет корней в первой четверти, нужно проанализировать аргументы всех трёх корней. Первая четверть определяется условием $0 < \arg(z) < \frac{\pi}{2}$. Из условия задачи мы знаем, что $-\frac{\pi}{2} < \phi < 0$.

• Для корня $z_1$ (при $k=0$) аргумент $\theta_0 = \frac{\phi}{3}$. Для него справедливо неравенство $-\frac{\pi}{6} < \theta_0 < 0$. Этот корень лежит в четвёртой четверти.
• Для корня $z_2$ (при $k=1$) аргумент $\theta_1 = \frac{\phi}{3} + \frac{2\pi}{3}$. Так как $-\frac{\pi}{6} < \frac{\phi}{3} < 0$, то $-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} < \theta_1 < 0 + \frac{2\pi}{3}$, что даёт $\frac{3\pi}{6} < \theta_1 < \frac{2\pi}{3}$, или $\frac{\pi}{2} < \theta_1 < \frac{2\pi}{3}$. Этот корень лежит во второй четверти.
• Для корня $z_3$ (при $k=2$) аргумент $\theta_2 = \frac{\phi}{3} + \frac{4\pi}{3}$. Так как $-\frac{\pi}{6} < \frac{\phi}{3} < 0$, то $-\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} < \theta_2 < 0 + \frac{4\pi}{3}$, что даёт $\frac{7\pi}{6} < \theta_2 < \frac{4\pi}{3}$. Этот корень лежит в третьей четверти.

Ни один из полученных диапазонов для аргументов $\theta_0, \theta_1, \theta_2$ не пересекается с интервалом $(0, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, ни один из корней не может находиться в первой четверти.

Ответ: Аргументы корней принимают значения в интервалах $(-\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3})$ и $(\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3})$. Ни один из этих интервалов не соответствует первой координатной четверти, где аргумент должен быть в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.

г) Требуется найти площадь треугольника с вершинами в точках из пункта б). Этими вершинами являются корни $z_1, z_2, z_3$. Как было установлено, они образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R=1$ (так как $|z_k|=1$). Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно найти по формуле: $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$. Для нашего случая $n=3$ (треугольник) и $R=1$: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1^2 \cdot \sin(\frac{2\pi}{3})$. Значение синуса $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем и вычисляем площадь: $S = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.