Номер 37.5, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.5. a) $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$;

Б) $y_n = \text{tg} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} \right)$;

В) $y_n = 1 - \cos^2 \frac{\pi}{n}$;

Г) $y_n = \sin n\pi - \cos n\pi$.

а) $y_n = 3 \cos\frac{2\pi}{n}$

Для нахождения предела последовательности $y_n$ при $n \to \infty$, рассмотрим поведение аргумента функции косинус. Аргумент косинуса равен $\frac{2\pi}{n}$. Когда $n$ стремится к бесконечности ($n \to \infty$), знаменатель дроби растет, а вся дробь стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n} = 0$. Функция $f(x) = \cos(x)$ является непрерывной на всей числовой оси, в том числе и в точке $x=0$. Поэтому предел функции равен значению функции в точке, к которой стремится ее аргумент: $\lim_{n \to \infty} \cos\frac{2\pi}{n} = \cos\left(\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n}\right) = \cos(0) = 1$. Теперь мы можем найти предел исходной последовательности, используя свойство предела произведения: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} 3 \cos\frac{2\pi}{n} = 3 \cdot \left(\lim_{n \to \infty} \cos\frac{2\pi}{n}\right) = 3 \cdot 1 = 3$. Последовательность сходится к 3.

Ответ: 3.

б) $y_n = \text{tg}\left((-1)^n \frac{\pi}{4}\right)$

Рассмотрим поведение этой последовательности в зависимости от четности $n$. Множитель $(-1)^n$ принимает значение 1 для четных $n$ и -1 для нечетных $n$. 1. Если $n$ — четное число, то есть $n = 2k$ для некоторого натурального $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$. Тогда член последовательности $y_{2k} = \text{tg}\left(1 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. Таким образом, подпоследовательность, состоящая из четных членов, является постоянной последовательностью $1, 1, 1, \dots$ и ее предел равен 1. 2. Если $n$ — нечетное число, то есть $n = 2k-1$ для некоторого натурального $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k-1} = -1$. Тогда член последовательности $y_{2k-1} = \text{tg}\left(-1 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$. Таким образом, подпоследовательность, состоящая из нечетных членов, является постоянной последовательностью $-1, -1, -1, \dots$ и ее предел равен -1. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо, чтобы все ее подпоследовательности сходились к одному и тому же значению. Поскольку мы нашли две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам (1 и -1), исходная последовательность $y_n$ не имеет предела, то есть она расходится.

Ответ: последовательность расходится.

в) $y_n = 1 - \cos^2\frac{2\pi}{n}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. Применим это тождество к нашей последовательности: $y_n = \sin^2\left(\frac{2\pi}{n}\right)$. Теперь найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Как и в пункте а), аргумент функции синус стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n} = 0$. Функция $f(x) = \sin(x)$ является непрерывной, поэтому: $\lim_{n \to \infty} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \sin(0) = 0$. Поскольку функция $g(x) = x^2$ также непрерывна, предел квадрата функции равен квадрату предела: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \sin^2\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \left(\lim_{n \to \infty} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)^2 = 0^2 = 0$. Последовательность сходится к 0.

Ответ: 0.

г) $y_n = \sin n\pi - \cos n\pi$

Рассмотрим значения тригонометрических функций для целых значений $n$. 1. Функция $\sin(x)$ принимает значение 0 при $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число. Следовательно, для любого натурального $n$, $\sin n\pi = 0$. 2. Значение $\cos n\pi$ зависит от четности $n$: - Если $n$ — четное число ($n=2k$), то $\cos n\pi = \cos(2k\pi) = 1$. - Если $n$ — нечетное число ($n=2k-1$), то $\cos n\pi = \cos((2k-1)\pi) = -1$. В общем виде это можно записать как $\cos n\pi = (-1)^n$. Подставим эти значения в формулу для $y_n$: $y_n = \sin n\pi - \cos n\pi = 0 - (-1)^n = -(-1)^n$. Теперь рассмотрим подпоследовательности для четных и нечетных $n$: - Для четных $n$, $y_n = -(-1)^n = -(1) = -1$. Предел этой подпоследовательности равен -1. - Для нечетных $n$, $y_n = -(-1)^n = -(-1) = 1$. Предел этой подпоследовательности равен 1. Так как существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам (-1 и 1), исходная последовательность $y_n$ не имеет предела и является расходящейся.

Ответ: последовательность расходится.