Номер 37.7, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.7. а) $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{n^3 + 1}$

б) $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}$

a)

Дана последовательность $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{n^3 + 1}$, которую можно записать с использованием факториала как $y_n = \frac{n!}{n^3 + 1}$.

Для нахождения предела $\lim_{n \to \infty} y_n$ воспользуемся признаком Д'Аламбера для последовательностей. Для этого найдем предел отношения последующего члена к предыдущему $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n}$.

Сначала запишем выражение для $y_{n+1}$:

$y_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3 + 1}$.

Теперь составим отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$:

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3 + 1} \div \frac{n!}{n^3 + 1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3 + 1} \cdot \frac{n^3 + 1}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} \cdot \frac{n^3 + 1}{(n+1)^3 + 1} = (n+1) \frac{n^3 + 1}{n^3 + 3n^2 + 3n + 2}$.

Вычислим предел этого выражения при $n \to \infty$. Сначала найдем предел дробной части, разделив ее числитель и знаменатель на старшую степень $n^3$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 1}{n^3 + 3n^2 + 3n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{2}{n^3}} = \frac{1+0}{1+0+0+0} = 1$.

Теперь можем найти предел всего отношения:

$\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 1}{n^3 + 3n^2 + 3n + 2} = \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot 1 = \infty$.

Так как предел отношения $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \infty$, что больше 1, то по признаку Д'Аламбера последовательность $y_n$ расходится, и ее предел равен бесконечности.

Ответ: $\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$.

б)

Дана последовательность $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}$.

Запишем последовательность в виде произведения: $y_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}$.

Поскольку каждый множитель в произведении положителен, очевидно, что $y_n > 0$ для всех натуральных $n$. Это дает нам нижнюю границу для последовательности.

Для нахождения предела воспользуемся теоремой о двух милиционерах (Squeeze Theorem). Для этого найдем верхнюю оценку для $y_n$. Рассмотрим квадрат последовательности, $y_n^2$:

$y_n^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdots \left(\frac{2n-1}{2n}\right)^2 = \prod_{k=1}^{n} \left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2$.

Воспользуемся неравенством $\frac{2k-1}{2k} < \frac{2k}{2k+1}$, которое справедливо для всех $k \ge 1$. Чтобы убедиться в его истинности, сравним произведения $(2k-1)(2k+1)$ и $(2k)(2k)$. Имеем $4k^2-1 < 4k^2$, следовательно, неравенство верно.

Применим это неравенство для оценки $y_n^2$:

$y_n^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n}\right) < \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n}\right) \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{2n}{2n+1}\right)$.

Произведение в правой части является телескопическим, так как соседние члены сокращаются:

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdots \frac{\cancel{2n-1}}{\cancel{2n}} \cdot \frac{\cancel{2n}}{2n+1} = \frac{1}{2n+1}$.

Таким образом, мы получили двойное неравенство для $y_n^2$:

$0 < y_n^2 < \frac{1}{2n+1}$.

Теперь найдем пределы левой и правой частей этого неравенства при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} 0 = 0$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1} = 0$.

По теореме о двух милиционерах, если последовательность зажата между двумя другими последовательностями, сходящимися к одному и тому же пределу, то она также сходится к этому пределу. Следовательно,

$\lim_{n \to \infty} y_n^2 = 0$.

Поскольку $y_n > 0$, предел самой последовательности $y_n$ равен квадратному корню из предела ее квадрата:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \sqrt{\lim_{n \to \infty} y_n^2} = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.