Номер 37.6, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности ($y_n$):

37.6. а) $y_n = \sin \frac{n\pi}{2} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2n + 1);$

б) $y_n = \cos \frac{n\pi}{2} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n + 1);$

в) $y_n = n \sin \frac{n\pi}{2} + n^2 \cos \frac{n\pi}{2};$

г) $y_n = \sin \frac{n\pi}{4} - n \cos \frac{n\pi}{4}.$

а) $y_n = \sin\frac{n\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{\pi(2n + 1)}{4}$

Вычислим первые пять членов последовательности, подставляя n = 1, 2, 3, 4, 5:

При n = 1: $y_1 = \sin\frac{\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} = 1 - (-1) = 2$.

При n = 2: $y_2 = \sin\frac{2\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{5\pi}{4} = \sin\pi - \operatorname{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = 0 - 1 = -1$.

При n = 3: $y_3 = \sin\frac{3\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{4} = -1 - \operatorname{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -1 - (-1) = 0$.

При n = 4: $y_4 = \sin\frac{4\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{9\pi}{4} = \sin(2\pi) - \operatorname{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 0 - 1 = -1$.

При n = 5: $y_5 = \sin\frac{5\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{11\pi}{4} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) - \operatorname{ctg}(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = 1 - (-1) = 2$.

Ответ: 2, -1, 0, -1, 2.

б) $y_n = \cos\frac{n\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{\pi(2n + 1)}{4}$

Вычислим первые пять членов последовательности:

При n = 1: $y_1 = \cos\frac{\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} = 0 + (-1) = -1$.

При n = 2: $y_2 = \cos\frac{2\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4} = \cos\pi + \operatorname{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = -1 + 1 = 0$.

При n = 3: $y_3 = \cos\frac{3\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{7\pi}{4} = 0 + \operatorname{tg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = 0 + (-1) = -1$.

При n = 4: $y_4 = \cos\frac{4\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{9\pi}{4} = \cos(2\pi) + \operatorname{tg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 1 + 1 = 2$.

При n = 5: $y_5 = \cos\frac{5\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{11\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) + \operatorname{tg}(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = 0 + (-1) = -1$.

Ответ: -1, 0, -1, 2, -1.

в) $y_n = n \sin\frac{n\pi}{2} + n^2 \cos\frac{n\pi}{2}$

Вычислим первые пять членов последовательности:

При n = 1: $y_1 = 1 \cdot \sin\frac{\pi}{2} + 1^2 \cdot \cos\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$.

При n = 2: $y_2 = 2 \cdot \sin\frac{2\pi}{2} + 2^2 \cdot \cos\frac{2\pi}{2} = 2\sin\pi + 4\cos\pi = 2 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = -4$.

При n = 3: $y_3 = 3 \cdot \sin\frac{3\pi}{2} + 3^2 \cdot \cos\frac{3\pi}{2} = 3 \cdot (-1) + 9 \cdot 0 = -3$.

При n = 4: $y_4 = 4 \cdot \sin\frac{4\pi}{2} + 4^2 \cdot \cos\frac{4\pi}{2} = 4\sin(2\pi) + 16\cos(2\pi) = 4 \cdot 0 + 16 \cdot 1 = 16$.

При n = 5: $y_5 = 5 \cdot \sin\frac{5\pi}{2} + 5^2 \cdot \cos\frac{5\pi}{2} = 5\sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) + 25\cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = 5 \cdot 1 + 25 \cdot 0 = 5$.

Ответ: 1, -4, -3, 16, 5.

г) $y_n = \sin\frac{n\pi}{4} - n \cos\frac{n\pi}{4}$

Вычислим первые пять членов последовательности:

При n = 1: $y_1 = \sin\frac{\pi}{4} - 1 \cdot \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.

При n = 2: $y_2 = \sin\frac{2\pi}{4} - 2 \cdot \cos\frac{2\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{2} - 2\cos\frac{\pi}{2} = 1 - 2 \cdot 0 = 1$.

При n = 3: $y_3 = \sin\frac{3\pi}{4} - 3 \cdot \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

При n = 4: $y_4 = \sin\frac{4\pi}{4} - 4 \cdot \cos\frac{4\pi}{4} = \sin\pi - 4\cos\pi = 0 - 4(-1) = 4$.

При n = 5: $y_5 = \sin\frac{5\pi}{4} - 5 \cdot \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 5(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: 0, 1, $2\sqrt{2}$, 4, $2\sqrt{2}$.