Номер 37.11, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.11. а) Выпишите первые шесть членов последовательности $(x_n)$, у которой $x_1 = 5$, $x_2 = -3$ и каждый член, начиная с третьего, равен полусумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.

б) Выпишите первые шесть членов последовательности $(y_n)$, у которой $y_1 = -1$, $y_2 = 1$ и каждый член, начиная с третьего, равен утроенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.

а)

По условию, нам даны первые два члена последовательности $(x_n)$: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$. Каждый следующий член, начиная с третьего, определяется как полусумма двух предыдущих. Это можно записать в виде рекуррентной формулы: $x_n = \frac{x_{n-1} + x_{n-2}}{2}$ для всех $n \ge 3$.

Вычислим следующие четыре члена последовательности, чтобы получить первые шесть:

Третий член ($n=3$):
$x_3 = \frac{x_2 + x_1}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Четвертый член ($n=4$):
$x_4 = \frac{x_3 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Пятый член ($n=5$):
$x_5 = \frac{x_4 + x_3}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Шестой член ($n=6$):
$x_6 = \frac{x_5 + x_4}{2} = \frac{0 + (-1)}{2} = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Первые шесть членов последовательности: 5, -3, 1, -1, 0, -0,5.

Рекуррентное задание последовательности включает в себя начальные члены и формулу для нахождения остальных членов.

Ответ: Первые шесть членов: 5; -3; 1; -1; 0; -0,5. Рекуррентное задание: $x_1 = 5, x_2 = -3, x_n = \frac{x_{n-1} + x_{n-2}}{2}$ при $n \ge 3$.

б)

По условию, нам даны первые два члена последовательности $(y_n)$: $y_1 = -1$ и $y_2 = 1$. Каждый следующий член, начиная с третьего, равен утроенной сумме двух предыдущих. Рекуррентная формула для этой последовательности: $y_n = 3(y_{n-1} + y_{n-2})$ для всех $n \ge 3$.

Вычислим следующие четыре члена последовательности:

Третий член ($n=3$):
$y_3 = 3(y_2 + y_1) = 3(1 + (-1)) = 3 \cdot 0 = 0$.

Четвертый член ($n=4$):
$y_4 = 3(y_3 + y_2) = 3(0 + 1) = 3 \cdot 1 = 3$.

Пятый член ($n=5$):
$y_5 = 3(y_4 + y_3) = 3(3 + 0) = 3 \cdot 3 = 9$.

Шестой член ($n=6$):
$y_6 = 3(y_5 + y_4) = 3(9 + 3) = 3 \cdot 12 = 36$.

Первые шесть членов последовательности: -1, 1, 0, 3, 9, 36.

Рекуррентное задание последовательности состоит из начальных членов и рекуррентной формулы.

Ответ: Первые шесть членов: -1; 1; 0; 3; 9; 36. Рекуррентное задание: $y_1 = -1, y_2 = 1, y_n = 3(y_{n-1} + y_{n-2})$ при $n \ge 3$.