Номер 37.15, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.15. а) $y = \sin \frac{\pi}{6} x$, $x \in N$;

б) $y = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2x+1)$, $x \in N$;

В) $y = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} x$, $x \in N$;

Г) $y = \cos \pi x$, $x \in N$.

а)

Дана функция $y = \sin(\frac{\pi}{6}x)$, где $x \in \mathbb{N}$. Чтобы найти множество значений функции (область значений), мы должны определить, какие значения принимает $y$ для всех натуральных $x$.

Вычислим значения функции для первых нескольких натуральных $x$:
При $x=1: y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
При $x=2: y = \sin(\frac{2\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
При $x=3: y = \sin(\frac{3\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
При $x=4: y = \sin(\frac{4\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
При $x=5: y = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
При $x=6: y = \sin(\frac{6\pi}{6}) = \sin(\pi) = 0$.
При $x=7: y = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
При $x=8: y = \sin(\frac{8\pi}{6}) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
При $x=9: y = \sin(\frac{9\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
При $x=10: y = \sin(\frac{10\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
При $x=11: y = \sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
При $x=12: y = \sin(\frac{12\pi}{6}) = \sin(2\pi) = 0$.

При $x=13$ значение повторяется: $y = \sin(\frac{13\pi}{6}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Последовательность значений является периодической. Найдем ее наименьший натуральный период $T$. Для этого приращение аргумента $\frac{\pi}{6}T$ должно быть кратно основному периоду синуса $2\pi$. $\frac{\pi T}{6} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $T = 12k$. Наименьший натуральный период $T$ равен 12 (при $k=1$). Следовательно, множество значений функции состоит из всех уникальных значений для $x$ от 1 до 12. Это значения: $\{ -1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \}$.

Ответ: $\{ -1; -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 \}$.

б)

Дана функция $y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2x+1))$, где $x \in \mathbb{N}$. Найдем значения функции для первых нескольких натуральных $x$:
При $x=1: y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 1+1)) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
При $x=2: y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 2+1)) = \text{ctg}(\frac{5\pi}{4}) = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
При $x=3: y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 3+1)) = \text{ctg}(\frac{7\pi}{4}) = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -1$.
При $x=4: y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 4+1)) = \text{ctg}(\frac{9\pi}{4}) = \text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 1$.

Значения функции циклически чередуются: -1, 1, -1, 1, ... Найдем период $T$ последовательности. Период котангенса равен $\pi$. Приращение аргумента должно быть кратно $\pi$. $\frac{\pi}{4}(2(x+T)+1) - \frac{\pi}{4}(2x+1) = \frac{\pi}{4}(2T) = \frac{\pi T}{2}$. $\frac{\pi T}{2} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $T = 2k$. Наименьший натуральный период $T=2$ (при $k=1$). Множество значений состоит из значений для $x=1$ и $x=2$. Проверим, определена ли функция для всех $x \in \mathbb{N}$. Аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. $\frac{\pi}{4}(2x+1) = \pi n \implies 2x+1 = 4n \implies 2x = 4n-1$. Слева стоит четное число, а справа — нечетное. Равенство невозможно, значит, функция определена для всех $x \in \mathbb{N}$.

Ответ: $\{ -1; 1 \}$.

в)

Дана функция $y = \text{tg}(\frac{\pi}{3}x)$, где $x \in \mathbb{N}$. Вычислим значения функции:
При $x=1: y = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
При $x=2: y = \text{tg}(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
При $x=3: y = \text{tg}(\frac{3\pi}{3}) = \text{tg}(\pi) = 0$.
При $x=4: y = \text{tg}(\frac{4\pi}{3}) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Значения повторяются. Период тангенса равен $\pi$. Найдем период $T$ последовательности. $\frac{\pi}{3}(x+T) - \frac{\pi}{3}x = \frac{\pi T}{3}$. $\frac{\pi T}{3} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $T = 3k$. Наименьший натуральный период $T=3$. Множество значений состоит из значений для $x=1, 2, 3$. Проверим область определения. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. $\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies \frac{x}{3} = \frac{1}{2} + n \implies x = \frac{3}{2} + 3n = \frac{3+6n}{2}$. Число $3+6n$ является нечетным для любого целого $n$, поэтому $x$ не может быть целым, а значит и натуральным числом. Функция определена для всех $x \in \mathbb{N}$.

Ответ: $\{ -\sqrt{3}; 0; \sqrt{3} \}$.

г)

Дана функция $y = \cos(\pi x)$, где $x \in \mathbb{N}$. Вычислим значения функции:
При $x=1: y = \cos(\pi) = -1$.
При $x=2: y = \cos(2\pi) = 1$.
При $x=3: y = \cos(3\pi) = -1$.
При $x=4: y = \cos(4\pi) = 1$.

Можно заметить, что если $x$ — нечетное натуральное число, то аргумент $\pi x$ является нечетным кратным $\pi$, и $y = -1$. Если $x$ — четное натуральное число, то аргумент $\pi x$ является четным кратным $\pi$, и $y = 1$. Таким образом, функцию можно записать в виде $y = (-1)^x$ для $x \in \mathbb{N}$. Следовательно, функция принимает только два значения.

Ответ: $\{ -1; 1 \}$.