Номер 37.20, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.20. a) Последовательность состоит из квадратов простых чисел, расположенных в порядке возрастания. Найдите сумму первых восьми членов этой последовательности. (Число 1 не считается ни простым, ни составным).

б) Известно, что $y_n$ — последовательность всех натуральных степеней числа 3, расположенных в порядке возрастания. Найдите: $y_5, y_8, y_{37}, y_{2n}, y_{2n+1}, y_{2n-3}$.

а) Последовательность состоит из квадратов простых чисел, расположенных в порядке возрастания. Чтобы найти сумму первых восьми членов этой последовательности, нужно выполнить следующие шаги.

1. Найти первые восемь простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. В условии указано, что 1 не является ни простым, ни составным числом.
Первые восемь простых чисел в порядке возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

2. Найти первые восемь членов последовательности, возведя в квадрат каждое из найденных простых чисел:
$a_1 = 2^2 = 4$
$a_2 = 3^2 = 9$
$a_3 = 5^2 = 25$
$a_4 = 7^2 = 49$
$a_5 = 11^2 = 121$
$a_6 = 13^2 = 169$
$a_7 = 17^2 = 289$
$a_8 = 19^2 = 361$

3. Сложить полученные восемь членов, чтобы найти их сумму:
$S_8 = 4 + 9 + 25 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361$
Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:
$S_8 = (4 + 361) + (9 + 169) + (25) + (49 + 289) + (121)$
$S_8 = 365 + 178 + 25 + 338 + 121$
Проведем сложение:
$4 + 9 + 25 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361 = 13 + 25 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361 = 38 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361 = 87 + 121 + 169 + 289 + 361 = 208 + 169 + 289 + 361 = 377 + 289 + 361 = 666 + 361 = 1027$.

Ответ: 1027

б) Последовательность $(y_n)$ представляет собой все натуральные степени числа 3, расположенные в порядке возрастания. Это означает, что n-й член последовательности задается формулой $y_n = 3^n$, где $n$ — номер члена последовательности (натуральное число $n = 1, 2, 3, \dots$).

Используя эту формулу, найдем заданные члены последовательности:

Для $y_5$ подставляем $n=5$:
$y_5 = 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$.

Для $y_8$ подставляем $n=8$:
$y_8 = 3^8 = 3^5 \times 3^3 = 243 \times 27 = 6561$.

Для $y_{37}$ подставляем $n=37$:
$y_{37} = 3^{37}$. Это очень большое число, поэтому его принято оставлять в виде степени.

Для $y_{2n}$ подставляем в формулу вместо $n$ выражение $2n$:
$y_{2n} = 3^{2n}$.

Для $y_{2n+1}$ подставляем в формулу вместо $n$ выражение $2n+1$:
$y_{2n+1} = 3^{2n+1}$.

Для $y_{2n-3}$ подставляем в формулу вместо $n$ выражение $2n-3$:
$y_{2n-3} = 3^{2n-3}$. Данное выражение имеет смысл, когда индекс $2n-3$ является натуральным числом, то есть $2n-3 \ge 1$, что означает $2n \ge 4$, или $n \ge 2$.

Ответ: $y_5 = 243$; $y_8 = 6561$; $y_{37} = 3^{37}$; $y_{2n} = 3^{2n}$; $y_{2n+1} = 3^{2n+1}$; $y_{2n-3} = 3^{2n-3}$.