Номер 37.24, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.24. а) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots;$

б) $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \frac{9}{10}, \frac{11}{12}, \dots;$

в) $1, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots;$

г) $\frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \frac{1}{7 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 13}, \dots$

а) Данная последовательность: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$. Обозначим члены последовательности как $a_n$, где $n$ - номер члена, начиная с $n=1$.
$a_1 = 1$
$a_2 = \frac{1}{2}$
$a_3 = \frac{1}{4}$
$a_4 = \frac{1}{8}$
$a_5 = \frac{1}{16}$
Заметим, что знаменатели являются степенями числа 2. Представим члены последовательности в виде дробей с числителем 1:
$a_1 = 1 = \frac{1}{2^0}$
$a_2 = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$
$a_3 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$
$a_4 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$
$a_5 = \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4}$
Из этого видно, что показатель степени в знаменателе на единицу меньше номера члена последовательности ($n-1$).
Следовательно, формула для n-го члена последовательности имеет вид $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ подтверждает наш вывод: $a_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$

б) Данная последовательность: $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \frac{9}{10}, \frac{11}{12}, \dots$.
Рассмотрим отдельно последовательность числителей и последовательность знаменателей.
Последовательность числителей: 3, 5, 7, 9, 11, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 3$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.
Последовательность знаменателей: 4, 6, 8, 10, 12, ... Это также арифметическая прогрессия с первым членом $z_1 = 4$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $z_n = z_1 + (n-1)d = 4 + (n-1) \cdot 2 = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$.
Таким образом, n-й член исходной последовательности $a_n$ равен отношению n-го члена последовательности числителей к n-му члену последовательности знаменателей.
Ответ: $a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$

в) Данная последовательность: $1, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots$.
Представим первый член как дробь $\frac{1}{1}$. Тогда последовательность имеет вид: $\frac{1}{1}, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots$.
Рассмотрим последовательность знаменателей: 1, 8, 27, 64, 125, ...
Заметим, что это кубы натуральных чисел, начиная с 1:
$1 = 1^3$
$8 = 2^3$
$27 = 3^3$
$64 = 4^3$
$125 = 5^3$
Следовательно, знаменатель n-го члена последовательности равен $n^3$. Числитель всех членов равен 1.
Таким образом, формула для n-го члена последовательности имеет вид $a_n = \frac{1}{n^3}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n^3}$

г) Данная последовательность: $\frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \frac{1}{7 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 13}, \dots$.
Числитель каждого члена равен 1. Знаменатель является произведением двух чисел.
Рассмотрим последовательность первых множителей в знаменателях: 3, 5, 7, 9, 11, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 3$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.
Рассмотрим последовательность вторых множителей в знаменателях: 5, 7, 9, 11, 13, ... Это также арифметическая прогрессия с первым членом $z_1 = 5$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $z_n = z_1 + (n-1)d = 5 + (n-1) \cdot 2 = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$.
Таким образом, знаменатель n-го члена исходной последовательности равен произведению n-х членов этих двух арифметических прогрессий: $(2n+1)(2n+3)$.
Формула для n-го члена исходной последовательности имеет вид $a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$