Номер 37.19, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.19. а) Все натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, расположены в порядке возрастания. Найдите первые пять членов этой последовательности.

б) Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3, расположены в порядке возрастания. Найдите сумму первых шести членов этой последовательности.

а) Все натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, можно описать общей формулой $a = 5k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Чтобы найти первые пять членов этой последовательности, нужно взять первые пять значений для $k$ (начиная с 0) и вычислить соответствующее значение $a$:

При $k=0$: $a_1 = 5 \cdot 0 + 2 = 2$
При $k=1$: $a_2 = 5 \cdot 1 + 2 = 7$
При $k=2$: $a_3 = 5 \cdot 2 + 2 = 12$
При $k=3$: $a_4 = 5 \cdot 3 + 2 = 17$
При $k=4$: $a_5 = 5 \cdot 4 + 2 = 22$

Таким образом, первые пять членов этой последовательности в порядке возрастания: 2, 7, 12, 17, 22.

Ответ: 2, 7, 12, 17, 22.

б) Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3, можно описать общей формулой $a = 4k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Эта последовательность чисел является арифметической прогрессией. Найдем первые шесть её членов:

При $k=0$: $a_1 = 4 \cdot 0 + 3 = 3$
При $k=1$: $a_2 = 4 \cdot 1 + 3 = 7$
При $k=2$: $a_3 = 4 \cdot 2 + 3 = 11$
При $k=3$: $a_4 = 4 \cdot 3 + 3 = 15$
При $k=4$: $a_5 = 4 \cdot 4 + 3 = 19$
При $k=5$: $a_6 = 4 \cdot 5 + 3 = 23$

Нам нужно найти сумму этих шести членов. Это сумма первых шести членов арифметической прогрессии, у которой первый член $a_1 = 3$, шестой член $a_6 = 23$, а количество членов $n=6$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_6 = \frac{3 + 23}{2} \cdot 6 = \frac{26}{2} \cdot 6 = 13 \cdot 6 = 78$.

Ответ: 78.