Номер 37.12, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.12. Определите значения первых пяти членов последовательности и составьте формулу её n-го члена, если график последовательности представлен:

a) на рис. 64;

Значения первых пяти членов: $1.5, 3, 4.5, 6, 7.5$

Формула $n$-го члена: $y_n = 1.5n$

б) на рис. 65;

Значения первых пяти членов: $-1, 1, -1, 1, -1$

Формула $n$-го члена: $y_n = (-1)^n$

в) на рис. 66;

Значения первых пяти членов: $8, 4, 2.67, 2, 1.6$

Формула $n$-го члена: $y_n = \frac{8}{n}$

г) на рис. 67.

Значения первых пяти членов: $1, -2, 3, -4, 5$

Формула $n$-го члена: $y_n = (-1)^{n+1}n$

а) на рис. 64;

По координатам точек на графике определяем значения первых пяти членов последовательности $(y_n)$: $y_1 = 1.5$, $y_2 = 3$, $y_3 = 4.5$, $y_4 = 6$, $y_5 = 7.5$.

Заметим, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего на одну и ту же величину. Это характерно для арифметической прогрессии. Проверим это, найдя разность $d$ между соседними членами:

$d = y_2 - y_1 = 3 - 1.5 = 1.5$

$d = y_3 - y_2 = 4.5 - 3 = 1.5$

$d = y_4 - y_3 = 6 - 4.5 = 1.5$

Разность постоянна и равна $d=1.5$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $y_1 = 1.5$ и разностью $d = 1.5$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $y_n = y_1 + (n-1)d$. Подставим найденные значения:

$y_n = 1.5 + (n-1) \cdot 1.5 = 1.5 + 1.5n - 1.5 = 1.5n$

Ответ: первые пять членов последовательности: 1,5; 3; 4,5; 6; 7,5. Формула n-го члена: $y_n = 1.5n$.

б) на рис. 65;

По координатам точек на графике определяем значения первых пяти членов последовательности: $y_1 = -1$, $y_2 = 1$, $y_3 = -1$, $y_4 = 1$, $y_5 = -1$.

Это знакочередующаяся последовательность. Проверим, является ли она геометрической прогрессией, найдя ее знаменатель $q$:

$q = \frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{-1} = -1$

$q = \frac{y_3}{y_2} = \frac{-1}{1} = -1$

Знаменатель постоянен и равен $q=-1$. Следовательно, это геометрическая прогрессия с первым членом $y_1 = -1$ и знаменателем $q = -1$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим наши значения:

$y_n = -1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1+1} = (-1)^n$

Ответ: первые пять членов последовательности: -1; 1; -1; 1; -1. Формула n-го члена: $y_n = (-1)^n$.

в) на рис. 66;

Определим значения первых членов последовательности по точкам на графике: $y_1 = 8$, $y_2 = 4$, $y_3 \approx 2.7$, $y_4 = 2$, $y_5 = 1.6$.

Эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией. Попробуем найти другую закономерность. Рассмотрим произведение номера члена $n$ на его значение $y_n$:

$1 \cdot y_1 = 1 \cdot 8 = 8$

$2 \cdot y_2 = 2 \cdot 4 = 8$

$4 \cdot y_4 = 4 \cdot 2 = 8$

На графике также есть точка $(8, 1)$, для которой $8 \cdot y_8 = 8 \cdot 1 = 8$.

Можно предположить, что для всех членов последовательности выполняется равенство $n \cdot y_n = 8$. Отсюда можно выразить формулу для n-го члена: $y_n = \frac{8}{n}$.

Проверим эту формулу для $n=3$ и $n=5$: $y_3 = \frac{8}{3} \approx 2.67$, $y_5 = \frac{8}{5} = 1.6$. Эти значения соответствуют точкам на графике. Таким образом, первые пять членов: $8, 4, \frac{8}{3}, 2, \frac{8}{5} (1.6)$.

Ответ: первые пять членов последовательности: 8; 4; $\frac{8}{3}$; 2; 1,6. Формула n-го члена: $y_n = \frac{8}{n}$.

г) на рис. 67;

Определим значения первых пяти членов последовательности по точкам на графике: $y_1 = 1$, $y_2 = -2$, $y_3 = 3$, $y_4 = -4$, $y_5 = 5$.

Заметим, что абсолютное значение каждого члена последовательности равно его порядковому номеру: $|y_n| = n$.

Знаки членов чередуются, причем члены с нечетными номерами ($n=1, 3, 5, \dots$) положительны, а члены с четными номерами ($n=2, 4, \dots$) отрицательны.

Такое чередование знаков можно описать с помощью множителя $(-1)^{n+1}$ (или эквивалентного ему $(-1)^{n-1}$). Проверим $(-1)^{n+1}$:

при $n=1$, множитель равен $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$ (знак "+")

при $n=2$, множитель равен $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$ (знак "?")

при $n=3$, множитель равен $(-1)^{3+1} = (-1)^4 = 1$ (знак "+")

Множитель правильно задает знаки. Объединяя правило для модуля и правило для знака, получаем искомую формулу n-го члена:

$y_n = (-1)^{n+1}n$

Ответ: первые пять членов последовательности: 1; -2; 3; -4; 5. Формула n-го члена: $y_n = (-1)^{n+1}n$.