Номер 37.8, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.8. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{2} $:

a) по недостатку;

б) по избытку.

Для решения задачи необходимо найти последовательность десятичных приближений числа $ \sqrt{2} $. Значение этого числа с несколькими знаками после запятой: $ \sqrt{2} \approx 1,41421356... $

Последовательность десятичных приближений строится путем последовательного уточнения значения: сначала с точностью до целых, затем до десятых, до сотых, до тысячных и так далее. Мы найдем первые четыре члена такой последовательности.

а) по недостатку;

Десятичное приближение по недостатку – это наибольшая десятичная дробь с данным числом знаков, не превосходящая данное число. Для нахождения такого приближения нужно просто отбросить все цифры в десятичной записи числа, следующие за требуемым разрядом.

• Первый член (приближение с точностью до целого):
  Так как $ 1^2 = 1 $ и $ 2^2 = 4 $, то $ 1 < \sqrt{2} < 2 $. Наибольшее целое число, не превосходящее $ \sqrt{2} $, это $ 1 $.
• Второй член (приближение с точностью до десятых):
  Так как $ 1,4^2 = 1,96 $ и $ 1,5^2 = 2,25 $, то $ 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 $. Наибольшее число с одним знаком после запятой, не превосходящее $ \sqrt{2} $, это $ 1,4 $.
• Третий член (приближение с точностью до сотых):
  Так как $ 1,41^2 = 1,9881 $ и $ 1,42^2 = 2,0164 $, то $ 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 $. Наибольшее число с двумя знаками после запятой, не превосходящее $ \sqrt{2} $, это $ 1,41 $.
• Четвертый член (приближение с точностью до тысячных):
  Так как $ 1,414^2 = 1,999396 $ и $ 1,415^2 = 2,002225 $, то $ 1,414 < \sqrt{2} < 1,415 $. Наибольшее число с тремя знаками после запятой, не превосходящее $ \sqrt{2} $, это $ 1,414 $.

Таким образом, первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{2} $ по недостатку: $ 1; 1,4; 1,41; 1,414 $.

Ответ: $ 1; 1,4; 1,41; 1,414 $.

б) по избытку.

Десятичное приближение по избытку – это наименьшая десятичная дробь с данным числом знаков, которая больше данного числа. Для его нахождения нужно взять приближение по недостатку и увеличить его последнюю цифру на единицу.

• Первый член (приближение с точностью до целого):
  Из неравенства $ 1 < \sqrt{2} < 2 $ следует, что наименьшее целое число, которое больше $ \sqrt{2} $, это $ 2 $.
• Второй член (приближение с точностью до десятых):
  Из неравенства $ 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 $ следует, что наименьшее число с одним знаком после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $, это $ 1,5 $.
• Третий член (приближение с точностью до сотых):
  Из неравенства $ 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 $ следует, что наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $, это $ 1,42 $.
• Четвертый член (приближение с точностью до тысячных):
  Из неравенства $ 1,414 < \sqrt{2} < 1,415 $ следует, что наименьшее число с тремя знаками после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $, это $ 1,415 $.

Таким образом, первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $ \sqrt{2} $ по избытку: $ 2; 1,5; 1,42; 1,415 $.

Ответ: $ 2; 1,5; 1,42; 1,415 $.