Номер 37.13, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

37.13. a) $y = (x + 1)^{-2}, x \in N;$

б) $y = 3x - x^2, x \in N;$

в) $y = -\frac{18}{x + 2}, x \in N;$

г) $y = \sqrt{x + 3}, x \in N.$

а) $y = (x + 1)^{-2}, x \in \mathbb{N}$

Поскольку область определения функции — это множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ (т.е. $x = 1, 2, 3, \ldots$), график будет состоять не из сплошной линии, а из набора отдельных точек. Преобразуем формулу: $y = \frac{1}{(x+1)^2}$. Вычислим координаты нескольких первых точек графика, подставляя натуральные значения $x$:
При $x=1$ получаем $y = \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{4}$. Координаты точки: $(1; 1/4)$.
При $x=2$ получаем $y = \frac{1}{(2+1)^2} = \frac{1}{9}$. Координаты точки: $(2; 1/9)$.
При $x=3$ получаем $y = \frac{1}{(3+1)^2} = \frac{1}{16}$. Координаты точки: $(3; 1/16)$.
Все точки графика находятся в первой координатной четверти. С увеличением $x$ знаменатель дроби $(x+1)^2$ быстро растет, поэтому значение $y$ уменьшается, стремясь к нулю. Точки графика приближаются к оси абсцисс.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(x, \frac{1}{(x+1)^2})$, где $x \in \mathbb{N}$. Например, точки $(1; 1/4)$, $(2; 1/9)$, $(3; 1/16)$, ... .

б) $y = 3x - x^2, x \in \mathbb{N}$

График данной функции состоит из множества отдельных точек, так как ее область определения — натуральные числа $x = 1, 2, 3, \ldots$. Вычислим координаты нескольких точек:
При $x=1$: $y = 3(1) - 1^2 = 3 - 1 = 2$. Точка $(1; 2)$.
При $x=2$: $y = 3(2) - 2^2 = 6 - 4 = 2$. Точка $(2; 2)$.
При $x=3$: $y = 3(3) - 3^2 = 9 - 9 = 0$. Точка $(3; 0)$.
При $x=4$: $y = 3(4) - 4^2 = 12 - 16 = -4$. Точка $(4; -4)$.
Эти точки лежат на параболе $y = -x^2 + 3x$, ветви которой направлены вниз. Вершина этой параболы имеет абсциссу $x_v = -\frac{3}{2(-1)} = 1.5$. Наибольшее значение среди натуральных $x$ функция принимает в точках $x=1$ и $x=2$. При $x \ge 3$ значения $y$ убывают.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(x, 3x - x^2)$, где $x \in \mathbb{N}$. Например, точки $(1; 2)$, $(2; 2)$, $(3; 0)$, $(4; -4)$, ... .

в) $y = -\frac{18}{x+2}, x \in \mathbb{N}$

Область определения функции — множество натуральных чисел, поэтому ее график — это последовательность точек. Вычислим координаты нескольких из них:
При $x=1$: $y = -\frac{18}{1+2} = -\frac{18}{3} = -6$. Точка $(1; -6)$.
При $x=2$: $y = -\frac{18}{2+2} = -\frac{18}{4} = -4.5$. Точка $(2; -4.5)$.
При $x=4$: $y = -\frac{18}{4+2} = -\frac{18}{6} = -3$. Точка $(4; -3)$.
При $x=7$: $y = -\frac{18}{7+2} = -\frac{18}{9} = -2$. Точка $(7; -2)$.
Так как $x$ — натуральное число, $x+2$ всегда положительно, а значит $y$ всегда отрицателен. Все точки графика лежат в четвертой координатной четверти на ветви гиперболы. С ростом $x$ значение $y$ увеличивается (становится менее отрицательным) и стремится к нулю.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(x, -\frac{18}{x+2})$, где $x \in \mathbb{N}$. Например, точки $(1; -6)$, $(2; -4.5)$, $(4; -3)$, $(7; -2)$, ... .

г) $y = \sqrt{x+3}, x \in \mathbb{N}$

Область определения для функции $y=\sqrt{f(x)}$ задается условием $f(x) \ge 0$. В нашем случае $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. Все натуральные числа удовлетворяют этому условию. График функции представляет собой набор изолированных точек. Найдем координаты некоторых из них:
При $x=1$: $y = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1; 2)$.
При $x=2$: $y = \sqrt{2+3} = \sqrt{5}$. Точка $(2; \sqrt{5})$.
При $x=6$: $y = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(6; 3)$.
При $x=13$: $y = \sqrt{13+3} = \sqrt{16} = 4$. Точка $(13; 4)$.
Все точки графика лежат в первой координатной четверти. С увеличением $x$ значение $y$ также возрастает. Эти точки лежат на верхней ветви параболы $x=y^2-3$.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(x, \sqrt{x+3})$, где $x \in \mathbb{N}$. Например, точки $(1; 2)$, $(2; \sqrt{5})$, $(6; 3)$, $(13; 4)$, ... .