Номер 37.16, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график последовательности:

37.16. а) $y_n = 10 - n^3;$

б) $y_n = (-1)^n \sqrt{9n};$

в) $y_n = n^3 - 8;$

г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}.$

Для построения графика последовательности необходимо найти несколько ее первых членов и отметить соответствующие точки на координатной плоскости. График последовательности представляет собой набор изолированных точек с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — натуральное число (номер члена последовательности), а $y_n$ — значение этого члена.

а) $y_n = 10 - n^3$

Найдем первые несколько членов последовательности, подставляя натуральные числа $n = 1, 2, 3, 4, ...$ в формулу:

При $n=1$: $y_1 = 10 - 1^3 = 10 - 1 = 9$. Получаем точку $(1; 9)$.
При $n=2$: $y_2 = 10 - 2^3 = 10 - 8 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.
При $n=3$: $y_3 = 10 - 3^3 = 10 - 27 = -17$. Получаем точку $(3; -17)$.
При $n=4$: $y_4 = 10 - 4^3 = 10 - 64 = -54$. Получаем точку $(4; -54)$.

График состоит из набора точек. С увеличением номера $n$ значения $y_n$ становятся все более отрицательными и быстро убывают. Точки графика лежат на кривой $y = 10 - x^3$.

Ответ: График последовательности — это множество точек $(n, 10 - n^3)$ для всех натуральных $n$. Первые точки: $(1; 9), (2; 2), (3; -17), (4; -54), \dots$. Последовательность быстро убывает.

б) $y_n = (-1)^n\sqrt{9n}$

Эта последовательность является знакочередующейся из-за множителя $(-1)^n$. Упростим формулу: $y_n = (-1)^n \cdot 3\sqrt{n}$.

Найдем первые несколько членов:

При $n=1$: $y_1 = (-1)^1 \cdot 3\sqrt{1} = -3$. Получаем точку $(1; -3)$.
При $n=2$: $y_2 = (-1)^2 \cdot 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$. Получаем точку $(2; 3\sqrt{2})$.
При $n=3$: $y_3 = (-1)^3 \cdot 3\sqrt{3} = -3\sqrt{3} \approx -5.20$. Получаем точку $(3; -3\sqrt{3})$.
При $n=4$: $y_4 = (-1)^4 \cdot 3\sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6$. Получаем точку $(4; 6)$.

Члены с нечетными номерами $n$ отрицательны и лежат на кривой $y = -3\sqrt{x}$. Члены с четными номерами $n$ положительны и лежат на кривой $y = 3\sqrt{x}$. Модуль членов последовательности $|y_n| = 3\sqrt{n}$ возрастает с увеличением $n$.

Ответ: График — это множество точек $(n, (-1)^n \cdot 3\sqrt{n})$ для всех натуральных $n$. Первые точки: $(1; -3), (2; 3\sqrt{2}), (3; -3\sqrt{3}), (4; 6), \dots$. Точки поочередно лежат ниже и выше оси абсцисс, удаляясь от нее с ростом $n$.

в) $y_n = n^3 - 8$

Найдем первые несколько членов последовательности:

При $n=1$: $y_1 = 1^3 - 8 = 1 - 8 = -7$. Получаем точку $(1; -7)$.
При $n=2$: $y_2 = 2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$. Получаем точку $(2; 0)$.
При $n=3$: $y_3 = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$. Получаем точку $(3; 19)$.
При $n=4$: $y_4 = 4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$. Получаем точку $(4; 56)$.

График состоит из набора точек. При $n=1$ значение отрицательно, при $n=2$ равно нулю, а при $n>2$ значения положительны и быстро возрастают. Точки графика лежат на кривой $y = x^3 - 8$.

Ответ: График последовательности — это множество точек $(n, n^3 - 8)$ для всех натуральных $n$. Первые точки: $(1; -7), (2; 0), (3; 19), (4; 56), \dots$. Последовательность быстро возрастает.

г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}$

Упростим формулу: $y_n = 4 - 2\sqrt{n}$.

Найдем первые несколько членов последовательности:

При $n=1$: $y_1 = 4 - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$. Получаем точку $(1; 2)$.
При $n=2$: $y_2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2.83 = 1.17$. Получаем точку $(2; 4-2\sqrt{2})$.
При $n=3$: $y_3 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3.46 = 0.54$. Получаем точку $(3; 4-2\sqrt{3})$.
При $n=4$: $y_4 = 4 - 2\sqrt{4} = 4 - 4 = 0$. Получаем точку $(4; 0)$.
При $n=5$: $y_5 = 4 - 2\sqrt{5} \approx 4 - 4.47 = -0.47$. Получаем точку $(5; 4-2\sqrt{5})$.

График состоит из набора точек. С увеличением $n$ значение $\sqrt{n}$ растет, поэтому значения $y_n$ убывают. При $n<4$ члены последовательности положительны, при $n=4$ член равен нулю, а при $n>4$ члены отрицательны. Точки графика лежат на кривой $y = 4 - 2\sqrt{x}$.

Ответ: График — это множество точек $(n, 4 - 2\sqrt{n})$ для всех натуральных $n$. Первые точки: $(1; 2), (2; 4-2\sqrt{2}), (3; 4-2\sqrt{3}), (4; 0), (5; 4-2\sqrt{5}), \dots$. Последовательность убывает.