Номер 37.21, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.21. Задайте формулой $n$-го члена и рекуррентным способом:

a) возрастающую последовательность всех чётных натуральных чисел, не делящихся на 4;

б) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5;

в) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 (одновременно);

г) возрастающую последовательность всех чётных натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 (одновременно).

а)

Нам нужна возрастающая последовательность всех чётных натуральных чисел, которые не делятся на 4. Выпишем несколько первых членов этой последовательности. Чётные натуральные числа — это 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... Из этого ряда нужно исключить числа, кратные 4: 4, 8, 12, 16, ... В результате получаем последовательность ($a_n$): 2, 6, 10, 14, ... Это арифметическая прогрессия. Её первый член $a_1 = 2$. Разность прогрессии $d = 6 - 2 = 4$.

Формула n-го члена: Для арифметической прогрессии формула n-го члена имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставляя наши значения, получаем: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 4 = 2 + 4n - 4 = 4n - 2$.

Реккуррентный способ: Каждый следующий член последовательности равен предыдущему, сложенному с разностью прогрессии. $a_{n+1} = a_n + 4$. Для полного определения последовательности нужно задать её первый член: $a_1 = 2$.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = 4n - 2$. Реккуррентный способ: $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 4$.

б)

Нам нужна возрастающая последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5. Любое такое число можно представить в виде $13k + 5$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$). Выпишем первые члены последовательности ($b_n$): При $k=0: b_1 = 13 \cdot 0 + 5 = 5$. При $k=1: b_2 = 13 \cdot 1 + 5 = 18$. При $k=2: b_3 = 13 \cdot 2 + 5 = 31$. Последовательность: 5, 18, 31, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $b_1 = 5$ и разностью $d = 18 - 5 = 13$.

Формула n-го члена: Используем формулу $b_n = b_1 + (n-1)d$: $b_n = 5 + (n-1) \cdot 13 = 5 + 13n - 13 = 13n - 8$.

Реккуррентный способ: Каждый следующий член равен предыдущему плюс разность $d=13$. $b_{n+1} = b_n + 13$. Первый член последовательности: $b_1 = 5$.

Ответ: Формула n-го члена: $b_n = 13n - 8$. Реккуррентный способ: $b_1 = 5, b_{n+1} = b_n + 13$.

в)

Нам нужна возрастающая последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 одновременно. Если число делится на 3 и на 7, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Так как 3 и 7 — простые числа, их НОК равно их произведению: НОК(3, 7) = $3 \cdot 7 = 21$. Таким образом, мы ищем последовательность натуральных чисел, кратных 21. Последовательность ($c_n$): 21, 42, 63, 84, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 21$ и разностью $d = 21$.

Формула n-го члена: Каждый член последовательности является произведением номера члена $n$ на 21. $c_n = 21n$.

Реккуррентный способ: Каждый следующий член равен предыдущему плюс разность $d=21$. $c_{n+1} = c_n + 21$. Первый член: $c_1 = 21$.

Ответ: Формула n-го члена: $c_n = 21n$. Реккуррентный способ: $c_1 = 21, c_{n+1} = c_n + 21$.

г)

Нам нужна возрастающая последовательность всех чётных натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 одновременно. Это означает, что числа должны делиться на 2 (так как они чётные), на 3 и на 5. Следовательно, они должны быть кратны наименьшему общему кратному чисел 2, 3 и 5. Так как 2, 3 и 5 — простые числа, их НОК равно их произведению: НОК(2, 3, 5) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Мы ищем последовательность натуральных чисел, кратных 30. Последовательность ($d_n$): 30, 60, 90, 120, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 30$ и разностью $d = 30$.

Формула n-го члена: Каждый член последовательности является произведением номера члена $n$ на 30. $d_n = 30n$.

Реккуррентный способ: Каждый следующий член равен предыдущему плюс разность $d=30$. $d_{n+1} = d_n + 30$. Первый член: $d_1 = 30$.

Ответ: Формула n-го члена: $d_n = 30n$. Реккуррентный способ: $d_1 = 30, d_{n+1} = d_n + 30$.