Номер 37.28, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.28. Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат таким образом, что вершины первого квадрата являются серединами сторон второго. Второй квадрат, аналогично, вписан в третий квадрат и т. д. Получается последовательность вписанных друг в друга квадратов.

а) Составьте последовательность периметров полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата?

г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата?

Для решения задачи сначала установим общую закономерность для сторон квадратов. Пусть $a_n$ — длина стороны $n$-го квадрата, а $a_{n+1}$ — длина стороны $(n+1)$-го квадрата. По условию, $n$-й квадрат вписан в $(n+1)$-й так, что его вершины находятся на серединах сторон $(n+1)$-го квадрата.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $n$-го квадрата (гипотенуза) и половинами сторон $(n+1)$-го квадрата (катеты). Длина катетов будет $a_{n+1}/2$. По теореме Пифагора:

$a_n^2 = \left(\frac{a_{n+1}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a_{n+1}}{2}\right)^2 = \frac{a_{n+1}^2}{4} + \frac{a_{n+1}^2}{4} = \frac{2a_{n+1}^2}{4} = \frac{a_{n+1}^2}{2}$

Отсюда следует, что $a_{n+1}^2 = 2a_n^2$, и, извлекая квадратный корень, получаем $a_{n+1} = a_n\sqrt{2}$.

Это означает, что последовательность длин сторон квадратов является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \sqrt{2}$. В условии сказано, что "квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат". Это значит, что первый член последовательности, $a_1$, равен 1 см. Таким образом, формула для длины стороны $n$-го квадрата имеет вид:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (\sqrt{2})^{n-1} = (\sqrt{2})^{n-1}$

а) Составьте последовательность периметров полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

Периметр $n$-го квадрата вычисляется по формуле $P_n = 4a_n$. Подставив выражение для $a_n$, получим:

$P_n = 4 \cdot (\sqrt{2})^{n-1}$

Последовательность периметров также является геометрической прогрессией с первым членом $P_1 = 4 \cdot 1 = 4$ и знаменателем $q = \sqrt{2}$. Найдем первые пять членов:

$P_1 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{1-1} = 4 \cdot 1 = 4$ см

$P_2 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{2-1} = 4\sqrt{2}$ см

$P_3 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{3-1} = 4 \cdot 2 = 8$ см

$P_4 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{4-1} = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см

$P_5 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{5-1} = 4 \cdot 4 = 16$ см

Ответ: последовательность периметров задается формулой $P_n = 4(\sqrt{2})^{n-1}$; первые пять членов: 4, $4\sqrt{2}$, 8, $8\sqrt{2}$, 16.

б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

Площадь $n$-го квадрата вычисляется по формуле $S_n = a_n^2$. Подставив выражение для $a_n$, получим:

$S_n = ((\sqrt{2})^{n-1})^2 = 2^{n-1}$

Последовательность площадей является геометрической прогрессией с первым членом $S_1 = 1$ и знаменателем $q_S = 2$. Найдем первые пять членов:

$S_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1$ см?

$S_2 = 2^{2-1} = 2^1 = 2$ см?

$S_3 = 2^{3-1} = 2^2 = 4$ см?

$S_4 = 2^{4-1} = 2^3 = 8$ см?

$S_5 = 2^{5-1} = 2^4 = 16$ см?

Ответ: последовательность площадей задается формулой $S_n = 2^{n-1}$; первые пять членов: 1, 2, 4, 8, 16.

в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата?

Для нахождения длины стороны одиннадцатого квадрата используем формулу $a_n = (\sqrt{2})^{n-1}$ при $n=11$:

$a_{11} = (\sqrt{2})^{11-1} = (\sqrt{2})^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^{10/2} = 2^5 = 32$

Ответ: длина стороны одиннадцатого квадрата равна 32 см.

г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата?

Для нахождения площади семнадцатого квадрата используем формулу $S_n = 2^{n-1}$ при $n=17$:

$S_{17} = 2^{17-1} = 2^{16}$

Вычислим значение $2^{16}$:

$2^{10} = 1024$

$2^6 = 64$

$S_{17} = 2^{10} \cdot 2^6 = 1024 \cdot 64 = 65536$

Ответ: площадь семнадцатого квадрата равна 65536 см?.