Номер 37.34, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.34. Найдите число положительных членов последовательности:

а) $y_n = 4n - n^2$;

б) $y_n = \frac{140 - n^2}{6n - 11}$;

в) $y_n = -n^2 + 9n - 14$;

г) $y_n = \frac{123}{147 - 5n}$.

а) Чтобы найти число положительных членов последовательности $y_n = 4n - n^2$, необходимо решить неравенство $y_n > 0$ для натуральных значений $n$ (где $n$ - номер члена последовательности, $n \in \mathbb{N}$).

Решаем неравенство:

$4n - n^2 > 0$

Вынесем $n$ за скобки:

$n(4 - n) > 0$

Поскольку $n$ является натуральным числом, $n \ge 1$, то множитель $n$ всегда положителен. Для того чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы и второй множитель был положителен:

$4 - n > 0$

$n < 4$

Таким образом, мы ищем натуральные числа $n$, которые удовлетворяют условиям $n \ge 1$ и $n < 4$. Этим условиям удовлетворяют числа $n = 1, 2, 3$.

Следовательно, у последовательности 3 положительных члена.

Ответ: 3

б) Чтобы найти число положительных членов последовательности $y_n = \frac{140 - n^2}{6n - 11}$, необходимо решить неравенство $y_n > 0$ для натуральных $n$.

$\frac{140 - n^2}{6n - 11} > 0$

Данное неравенство эквивалентно двум системам неравенств (метод интервалов):

1. Числитель и знаменатель положительны:

$\begin{cases} 140 - n^2 > 0 \\ 6n - 11 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} n^2 < 140 \\ 6n > 11 \end{cases} \implies \begin{cases} -\sqrt{140} < n < \sqrt{140} \\ n > \frac{11}{6} \end{cases}$

Учитывая, что $\sqrt{140} \approx 11.83$ и $\frac{11}{6} \approx 1.83$, получаем двойное неравенство для $n$: $1.83 < n < 11.83$.

Натуральные числа $n$, удовлетворяющие этому неравенству: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Всего 10 чисел.

2. Числитель и знаменатель отрицательны:

$\begin{cases} 140 - n^2 < 0 \\ 6n - 11 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} n^2 > 140 \\ n < \frac{11}{6} \end{cases} \implies \begin{cases} n < -\sqrt{140} \text{ или } n > \sqrt{140} \\ n < \frac{11}{6} \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $n < -\sqrt{140}$ (т.е. $n < -11.83$). В этом промежутке нет натуральных чисел.

Таким образом, только 10 членов последовательности являются положительными.

Ответ: 10

в) Чтобы найти число положительных членов последовательности $y_n = -n^2 + 9n - 14$, решим неравенство $y_n > 0$ для натуральных $n$.

$-n^2 + 9n - 14 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$n^2 - 9n + 14 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 9n + 14$. Найдем ее корни, решив уравнение $n^2 - 9n + 14 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{9-5}{2} = 2$, $n_2 = \frac{9+5}{2} = 7$.

График функции $f(n)$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, неравенство $n^2 - 9n + 14 < 0$ выполняется при $2 < n < 7$.

Натуральные числа $n$, удовлетворяющие этому условию: 3, 4, 5, 6. Всего 4 числа.

Ответ: 4

г) Чтобы найти число положительных членов последовательности $y_n = \frac{123}{147 - 5n}$, решим неравенство $y_n > 0$ для натуральных $n$.

$\frac{123}{147 - 5n} > 0$

Числитель дроби, 123, является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, ее знаменатель также должен быть положительным.

$147 - 5n > 0$

$147 > 5n$

$n < \frac{147}{5}$

$n < 29.4$

Поскольку $n$ — натуральное число, оно должно удовлетворять условию $1 \le n \le 29$.

Натуральные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: 1, 2, 3, ..., 29. Их количество равно 29.

Ответ: 29