Номер 37.37, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

•37.37. Найдите номер члена последовательности $y_n = \frac{3n + 191}{3n + 2}$, наиболее близкого к числу:

а) 25;

б) 2;

в) 5;

г) 41.

Для того чтобы найти номер члена последовательности $y_n = \frac{3n + 191}{3n + 2}$, наиболее близкого к заданному числу $A$, мы ищем натуральное число $n$, при котором значение $|y_n - A|$ будет минимальным.

Для этого сначала решим уравнение $y_n = A$ относительно $n$, чтобы найти "идеальный" (не обязательно целый) номер $n_0$. $ \frac{3n + 191}{3n + 2} = A $
$ 3n + 191 = A(3n + 2) $
$ 3n + 191 = 3An + 2A $
$ 191 - 2A = 3An - 3n $
$ 191 - 2A = n(3A - 3) $
$ n = \frac{191 - 2A}{3(A - 1)} $

Искомый номер $n$ будет одним из целых чисел, ближайших к полученному значению $n_0$. Проанализировав функцию $y_n = 1 + \frac{189}{3n+2}$, мы видим, что она является убывающей при $n \ge 1$. Это означает, что если $n_0$ находится между двумя целыми числами $k$ и $k+1$, то нам нужно сравнить расстояния $|y_k - A|$ и $|y_{k+1} - A|$.

а) 25;

Найдём номер члена последовательности, наиболее близкого к числу $A=25$. $ n_0 = \frac{191 - 2 \cdot 25}{3(25 - 1)} = \frac{191 - 50}{3 \cdot 24} = \frac{141}{72} = \frac{47}{24} \approx 1.958 $
Ближайшие натуральные числа к $n_0 \approx 1.958$ — это $n=1$ и $n=2$. Сравним, какой из членов последовательности, $y_1$ или $y_2$, находится ближе к 25.
$ y_1 = \frac{3(1) + 191}{3(1) + 2} = \frac{194}{5} = 38.8 $
$ |y_1 - 25| = |38.8 - 25| = 13.8 $
$ y_2 = \frac{3(2) + 191}{3(2) + 2} = \frac{6 + 191}{8} = \frac{197}{8} = 24.625 $
$ |y_2 - 25| = |24.625 - 25| = |-0.375| = 0.375 $
Поскольку $0.375 < 13.8$, член $y_2$ ближе к 25.

Ответ: 2.

б) 2;

Найдём номер члена последовательности, наиболее близкого к числу $A=2$. $ n_0 = \frac{191 - 2 \cdot 2}{3(2 - 1)} = \frac{187}{3} = 62.333... $
Ближайшие натуральные числа к $n_0 \approx 62.333$ — это $n=62$ и $n=63$. Сравним, какой из членов, $y_{62}$ или $y_{63}$, находится ближе к 2.
$ y_{62} = \frac{3(62) + 191}{3(62) + 2} = \frac{186 + 191}{186 + 2} = \frac{377}{188} $
$ |y_{62} - 2| = |\frac{377}{188} - 2| = |\frac{377 - 376}{188}| = \frac{1}{188} $
$ y_{63} = \frac{3(63) + 191}{3(63) + 2} = \frac{189 + 191}{189 + 2} = \frac{380}{191} $
$ |y_{63} - 2| = |\frac{380}{191} - 2| = |\frac{380 - 382}{191}| = |-\frac{2}{191}| = \frac{2}{191} $
Сравним дроби $\frac{1}{188}$ и $\frac{2}{191}$. Так как $1 \cdot 191 < 2 \cdot 188$ ($191 < 376$), то $\frac{1}{188} < \frac{2}{191}$. Следовательно, член $y_{62}$ ближе к 2.

Ответ: 62.

в) 5;

Найдём номер члена последовательности, наиболее близкого к числу $A=5$. $ n_0 = \frac{191 - 2 \cdot 5}{3(5 - 1)} = \frac{181}{12} = 15.083... $
Ближайшие натуральные числа к $n_0 \approx 15.083$ — это $n=15$ и $n=16$. Сравним, какой из членов, $y_{15}$ или $y_{16}$, находится ближе к 5.
$ y_{15} = \frac{3(15) + 191}{3(15) + 2} = \frac{45 + 191}{47} = \frac{236}{47} $
$ |y_{15} - 5| = |\frac{236}{47} - 5| = |\frac{236 - 235}{47}| = \frac{1}{47} $
$ y_{16} = \frac{3(16) + 191}{3(16) + 2} = \frac{48 + 191}{50} = \frac{239}{50} = 4.78 $
$ |y_{16} - 5| = |4.78 - 5| = |-0.22| = 0.22 = \frac{11}{50} $
Сравним $\frac{1}{47}$ и $\frac{11}{50}$. Так как $1 \cdot 50 < 11 \cdot 47$ ($50 < 517$), то $\frac{1}{47} < \frac{11}{50}$. Значит, член $y_{15}$ ближе к 5.

Ответ: 15.

г) 41.

Найдём номер члена последовательности, наиболее близкого к числу $A=41$. $ n_0 = \frac{191 - 2 \cdot 41}{3(41 - 1)} = \frac{191 - 82}{3 \cdot 40} = \frac{109}{120} \approx 0.908 $
Полученное значение $n_0$ меньше 1. Номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, т.е. $n \ge 1$.
Исследуем поведение последовательности: $y_n = \frac{3n + 191}{3n + 2} = \frac{3n + 2 + 189}{3n + 2} = 1 + \frac{189}{3n + 2}$.
Так как с ростом $n$ знаменатель $3n+2$ увеличивается, дробь $\frac{189}{3n+2}$ уменьшается. Следовательно, последовательность $y_n$ является убывающей. Её первый член: $y_1 = 1 + \frac{189}{5} = 1 + 37.8 = 38.8$.
Поскольку $y_1 = 38.8$ — это наибольшее значение в последовательности, а число $A = 41$ больше $y_1$, то расстояние $|y_n - A|$ будет минимальным для самого большого члена последовательности, то есть для $y_1$.

Ответ: 1.