Номер 37.42, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.42. Является ли ограниченной сверху последовательность:

а) $x_n = \frac{(-1)^n + 1}{n};$

б) $1, -1, 1, -2, 1, -3, ...;$

в) $x_n = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2};$

г) $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ... ?$

а) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$.

Значение члена последовательности зависит от четности номера $n$.

1. Если $n$ — нечетное число, то $(-1)^n = -1$. В этом случае числитель дроби равен $(-1) + 1 = 0$, и, следовательно, $x_n = \frac{0}{n} = 0$.

2. Если $n$ — четное число, то $(-1)^n = 1$. В этом случае числитель дроби равен $1 + 1 = 2$, и, следовательно, $x_n = \frac{2}{n}$.

Таким образом, последовательность состоит из нулей (на нечетных местах) и положительных чисел вида $\frac{2}{n}$ (на четных местах): $0, 1, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, \dots$.

Максимальное значение среди членов с четными номерами достигается при наименьшем четном $n$, то есть при $n=2$, и равно $x_2 = \frac{2}{2} = 1$. Все остальные члены с четными номерами меньше 1. Члены с нечетными номерами равны 0. Следовательно, для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху, например, числом 1.

Ответ: да, является.

б) Рассмотрим последовательность, заданную первыми членами: $1, -1, 1, -2, 1, -3, \dots$.

Из вида последовательности можно установить следующую закономерность:

1. Члены последовательности, стоящие на нечетных местах, равны 1: $x_1=1, x_3=1, x_5=1, \dots$.

2. Члены последовательности, стоящие на четных местах, образуют последовательность отрицательных целых чисел: $x_2=-1, x_4=-2, x_6=-3, \dots$. Общий член для них может быть записан как $x_{2k}=-k$, где $k \in \mathbb{N}$.

Множество значений всех членов последовательности представляет собой объединение $\{1\} \cup \{-1, -2, -3, \dots\}$. Максимальным элементом этого множества является число 1. Любой другой член последовательности (отрицательное число) меньше 1. Таким образом, для любого члена последовательности $x_n$ выполняется неравенство $x_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху.

Ответ: да, является.

в) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2}$.

Для того чтобы проверить, ограничена ли последовательность сверху, можно преобразовать выражение для $n$-го члена, выделив целую часть:

$x_n = \frac{n^2 + 2 - 3}{n^2 + 2} = \frac{n^2 + 2}{n^2 + 2} - \frac{3}{n^2 + 2} = 1 - \frac{3}{n^2 + 2}$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n^2 \ge 1$, а $n^2 + 2 \ge 3$. Значит, выражение $\frac{3}{n^2 + 2}$ всегда положительно. Поскольку из единицы вычитается положительное число, значение $x_n$ всегда будет меньше 1. То есть, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n < 1$. Следовательно, последовательность ограничена сверху, например, числом 1.

Ответ: да, является.

г) Рассмотрим последовательность, заданную первыми членами: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$.

Легко заметить, что формула $n$-го члена этой последовательности имеет вид $x_n = \frac{n}{n+1}$.

Для проверки на ограниченность сверху преобразуем это выражение:

$x_n = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$.

Поскольку $n \ge 1$, знаменатель $n+1$ всегда положителен, и, следовательно, дробь $\frac{1}{n+1}$ также всегда положительна. Таким образом, каждый член последовательности $x_n$ получается вычитанием положительного числа из 1, что означает $x_n < 1$ для любого натурального $n$. Это доказывает, что последовательность ограничена сверху, например, числом 1.

Ответ: да, является.