Номер 37.45, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.45. При каких значениях параметра $p$ заданная последовательность ограничена сверху числом 1:

а) $y_n = \frac{2n + p}{2n + 1};$

б) $z_n = \frac{n}{p^2 + n}$?

а) Последовательность $y_n$ ограничена сверху числом 1, если для любого натурального числа $n$ ($n \ge 1$) выполняется неравенство $y_n \le 1$. Запишем и решим это неравенство: $$ \frac{2n + p}{2n + 1} \le 1 $$ Для решения преобразуем выражение для $y_n$, выделив в дроби целую часть: $$ y_n = \frac{2n + 1 + p - 1}{2n + 1} = \frac{2n + 1}{2n + 1} + \frac{p - 1}{2n + 1} = 1 + \frac{p - 1}{2n + 1} $$ Теперь исходное неравенство $y_n \le 1$ принимает вид: $$ 1 + \frac{p - 1}{2n + 1} \le 1 $$ Вычтем 1 из обеих частей: $$ \frac{p - 1}{2n + 1} \le 0 $$ Поскольку $n$ — натуральное число, знаменатель $2n + 1$ всегда положителен ($2n + 1 \ge 3$). Следовательно, чтобы вся дробь была неположительной, её числитель должен быть неположительным: $$ p - 1 \le 0 $$ $$ p \le 1 $$ Это условие не зависит от $n$, поэтому оно является необходимым и достаточным для того, чтобы последовательность была ограничена сверху числом 1.
Ответ: $p \le 1$.

б) Последовательность $z_n$ ограничена сверху числом 1, если для любого натурального числа $n$ ($n \ge 1$) выполняется неравенство $z_n \le 1$. Запишем это неравенство: $$ \frac{n}{p^2 + n} \le 1 $$ Рассмотрим знаменатель $p^2 + n$. Так как $p$ — действительное число, то $p^2 \ge 0$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Таким образом, знаменатель $p^2 + n \ge 0 + 1 = 1$, то есть он всегда положителен и никогда не равен нулю. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на положительный знаменатель $p^2 + n$, не меняя знака неравенства: $$ n \le p^2 + n $$ Вычтем $n$ из обеих частей неравенства: $$ 0 \le p^2 $$ Это неравенство справедливо для любого действительного значения параметра $p$. Следовательно, последовательность $z_n$ ограничена сверху числом 1 при любом значении $p$.
Ответ: $p$ — любое действительное число ($p \in \mathbb{R}$).