Номер 37.39, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.39. Найдите наименьший член последовательности:

а) $y_n = 3n^2 - 10n + 3;$

б) $y_n = \frac{-3}{2n - 5};$

в) $y_n = 2n^2 - 7n + 3;$

г) $y_n = \frac{-4}{n + 4}.$

а) $y_n = 3n^2 - 10n + 3$

Данная последовательность задана квадратичной функцией. Рассмотрим соответствующую непрерывную функцию $y(x) = 3x^2 - 10x + 3$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Следовательно, функция имеет точку минимума.

Координата вершины параболы $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=3$, $b=-10$.

$n_0 = -\frac{-10}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из целых чисел, ближайших к $n_0 = 5/3$. Такими числами являются $n=1$ и $n=2$.

Сравним значения члена последовательности при этих значениях $n$:

При $n=1$: $y_1 = 3(1)^2 - 10(1) + 3 = 3 - 10 + 3 = -4$.

При $n=2$: $y_2 = 3(2)^2 - 10(2) + 3 = 3 \cdot 4 - 20 + 3 = 12 - 20 + 3 = -5$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-5 < -4$. Таким образом, наименьший член последовательности равен -5.

Ответ: -5.

б) $y_n = \frac{-3}{2n - 5}$

Проанализируем поведение этой функции в зависимости от натурального аргумента $n$. Значение дроби зависит от её знаменателя $2n - 5$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя.

1. Если знаменатель $2n - 5 < 0$, что эквивалентно $2n < 5$ или $n < 2.5$. Поскольку $n$ - натуральное число, это условие выполняется для $n=1$ и $n=2$. В этом случае $y_n$ будет положительным.

При $n=1$: $y_1 = \frac{-3}{2(1) - 5} = \frac{-3}{-3} = 1$.

При $n=2$: $y_2 = \frac{-3}{2(2) - 5} = \frac{-3}{-1} = 3$.

Наименьшее значение в этом случае равно 1.

2. Если знаменатель $2n - 5 > 0$, что эквивалентно $n > 2.5$. Поскольку $n$ - натуральное число, это условие выполняется для $n=3, 4, 5, \dots$. В этом случае $y_n$ будет отрицательным.

Чтобы найти наименьший (самый отрицательный) член последовательности, нужно сделать его модуль $|y_n| = \frac{3}{2n-5}$ как можно большим. Это произойдет, когда знаменатель $2n-5$ будет положительным и как можно меньшим. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее условию $n > 2.5$, это $n=3$.

При $n=3$: $y_3 = \frac{-3}{2(3) - 5} = \frac{-3}{1} = -3$.

При увеличении $n$ ($n=4, 5, \dots$), знаменатель $2n-5$ увеличивается, а значение $y_n$ приближается к нулю, оставаясь отрицательным ($y_4 = -1$, $y_5 = -3/5$ и т.д.). Значит, наименьшее значение в этом случае равно -3.

Сравнивая наименьшие значения из обоих случаев (1 и -3), заключаем, что наименьший член всей последовательности равен -3.

Ответ: -3.

в) $y_n = 2n^2 - 7n + 3$

Как и в пункте а), данная последовательность задана квадратичной функцией. Рассмотрим параболу $y(x) = 2x^2 - 7x + 3$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2 > 0$), значит, она имеет минимум.

Найдем координату вершины параболы:

$n_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1.75$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, наименьшее значение достигается при одном из целых чисел, ближайших к $n_0 = 1.75$. Это $n=1$ и $n=2$.

Вычислим значения последовательности для этих номеров:

При $n=1$: $y_1 = 2(1)^2 - 7(1) + 3 = 2 - 7 + 3 = -2$.

При $n=2$: $y_2 = 2(2)^2 - 7(2) + 3 = 2 \cdot 4 - 14 + 3 = 8 - 14 + 3 = -3$.

Так как $-3 < -2$, наименьший член последовательности равен -3.

Ответ: -3.

г) $y_n = \frac{-4}{n + 4}$

Поскольку $n$ является натуральным числом, $n \ge 1$.

Знаменатель дроби $n+4$ всегда будет положительным, так как $n+4 \ge 1+4=5$.

Следовательно, член последовательности $y_n$ всегда будет отрицательным. Чтобы найти наименьшее значение $y_n$ (наиболее отрицательное), необходимо, чтобы его модуль $|y_n| = \frac{4}{n+4}$ был максимальным.

Дробь $\frac{4}{n+4}$ будет максимальной, когда ее знаменатель $n+4$ будет минимальным.

Функция $f(n)=n+4$ возрастающая. Ее наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении $n$, то есть при $n=1$.

Найдем наименьший член последовательности, подставив $n=1$:

$y_1 = \frac{-4}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$.

При увеличении $n$ знаменатель $n+4$ будет расти, а значение $y_n$ будет увеличиваться (приближаться к 0). Следовательно, $y_1 = -4/5$ является наименьшим членом последовательности.

Ответ: $-\frac{4}{5}$.