Номер 37.40, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.40. Найдите наибольший член последовательности:

а) $y_n = -2n^2 + 11n - 2;$

б) $y_n = \frac{3}{2n - 5};$

в) $y_n = 20 - 12n - 3n^2;$

г) $y_n = \frac{4}{n + 4}.$

а) Последовательность задана формулой $y_n = -2n^2 + 11n - 2$. Это квадратичная функция от $n$. Графиком функции $y(x) = -2x^2 + 11x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при старшем члене отрицателен ($-2 < 0$). Следовательно, наибольшее значение функция принимает в своей вершине.
Координата вершины параболы $y=ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей последовательности $a=-2$ и $b=11$. Найдем номер $n$, при котором достигался бы максимум, если бы $n$ могло быть любым действительным числом: $n_0 = -\frac{11}{2 \cdot (-2)} = \frac{11}{4} = 2.75$.
Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, наибольшее значение достигается при одном из целых чисел, ближайших к $n_0=2.75$. Это $n=2$ и $n=3$.
Сравним значения последовательности при этих $n$:
$y_2 = -2 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 - 2 = -2 \cdot 4 + 22 - 2 = -8 + 22 - 2 = 12$.
$y_3 = -2 \cdot 3^2 + 11 \cdot 3 - 2 = -2 \cdot 9 + 33 - 2 = -18 + 33 - 2 = 13$.
Так как $13 > 12$, наибольшим членом последовательности является $y_3$.
Ответ: 13

б) Последовательность задана формулой $y_n = \frac{3}{2n - 5}$. Числитель дроби является положительной константой. Чтобы значение дроби было наибольшим, ее знаменатель должен быть положительным и принимать наименьшее возможное значение.
Рассмотрим знаменатель $2n-5$. Он должен быть положительным:
$2n - 5 > 0$
$2n > 5$
$n > 2.5$
Поскольку $n$ — натуральное число, наименьшее значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=3$. При $n=3$ знаменатель $2 \cdot 3 - 5 = 1$. Это наименьшее возможное положительное значение знаменателя.
При $n=3$ значение члена последовательности равно $y_3 = \frac{3}{1} = 3$.
При $n > 3$ знаменатель будет больше 1, а значение дроби — меньше 3.
При $n \le 2$ знаменатель будет отрицательным ($2 \cdot 1 - 5 = -3$; $2 \cdot 2 - 5 = -1$), и члены последовательности будут отрицательными ($y_1 = -1$; $y_2 = -3$), что заведомо меньше 3.
Следовательно, наибольший член последовательности равен 3.
Ответ: 3

в) Последовательность задана формулой $y_n = 20 - 12n - 3n^2$. Запишем ее в стандартном виде: $y_n = -3n^2 - 12n + 20$. Это квадратичная функция с ветвями параболы, направленными вниз (коэффициент при $n^2$ равен $-3 < 0$).
Найдем вершину параболы:
$n_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-12}{-6} = -2$.
Вершина параболы находится в точке $n_0 = -2$. Поскольку $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$, все рассматриваемые значения $n$ находятся правее вершины. На этом интервале ($[-2, +\infty)$) функция убывает.
Следовательно, последовательность $y_n$ является убывающей для всех натуральных $n$. Наибольшее значение она принимает при наименьшем натуральном $n$, то есть при $n=1$.
Вычислим этот член:
$y_1 = 20 - 12 \cdot 1 - 3 \cdot 1^2 = 20 - 12 - 3 = 5$.
Ответ: 5

г) Последовательность задана формулой $y_n = \frac{4}{n + 4}$. Числитель дроби — положительная константа. Чтобы значение дроби было наибольшим, ее знаменатель $n+4$ должен быть наименьшим.
Поскольку $n$ — натуральное число, его наименьшее значение равно 1. Знаменатель $n+4$ является возрастающей функцией от $n$, поэтому его наименьшее значение достигается при наименьшем $n$, то есть при $n=1$.
Минимальное значение знаменателя равно $1+4=5$.
Тогда наибольший член последовательности равен:
$y_1 = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$