Номер 37.43, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.43. Является ли ограниченной последовательность:

а) $ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ..., \frac{1}{n}, ... $

б) $ -2, 3, -4, 5, ..., (-1)^n(n + 1), ... $

в) $ \frac{\sin 1}{1}, -\frac{\sin 2}{2}, \frac{\sin 3}{3}, ..., \frac{(-1)^{n-1} \sin n}{n}, ... $

г) $ \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}, \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4}, \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4}, ..., \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n - 1), ...? $

а) Последовательность задана членами $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$. Общий член последовательности можно записать как $x_n = \frac{1}{n+1}$ для $n=1, 2, 3, \dots$. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что для всех членов последовательности $x_n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$. Для данной последовательности при любом натуральном $n \ge 1$ справедливы неравенства: $n \ge 1 \implies n+1 \ge 2 \implies 0 < \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{2}$. Таким образом, все члены последовательности $x_n$ удовлетворяют условию $0 < x_n \le \frac{1}{2}$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом 0 и сверху числом $\frac{1}{2}$. Следовательно, последовательность является ограниченной. Можно взять $M=\frac{1}{2}$, тогда $|x_n| = x_n \le \frac{1}{2} = M$.
Ответ: да, является.

б) Последовательность задана общим членом $x_n = (-1)^n(n+1)$. Рассмотрим абсолютные значения членов последовательности: $|x_n| = |(-1)^n(n+1)| = n+1$. При неограниченном возрастании номера $n$ ($n \to \infty$), значение $|x_n| = n+1$ также неограниченно возрастает ($|x_n| \to \infty$). Это означает, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, найдется такой номер $n$ (например, любой $n > M-1$), что $|x_n| > M$. Рассмотрим подпоследовательности: - Для четных номеров $n=2k$: $x_{2k} = (-1)^{2k}(2k+1) = 2k+1$. Эта подпоследовательность $3, 5, 7, \dots$ не ограничена сверху. - Для нечетных номеров $n=2k-1$: $x_{2k-1} = (-1)^{2k-1}((2k-1)+1) = -2k$. Эта подпоследовательность $-2, -4, -6, \dots$ не ограничена снизу. Так как последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, она является неограниченной.
Ответ: нет, не является.

в) Последовательность задана общим членом $x_n = \frac{(-1)^{n-1} \sin n}{n}$. Рассмотрим модуль общего члена последовательности: $|x_n| = \left| \frac{(-1)^{n-1} \sin n}{n} \right| = \frac{|(-1)^{n-1}| \cdot |\sin n|}{|n|} = \frac{|\sin n|}{n}$ для $n \ge 1$. Известно, что функция синус ограничена, то есть $|\sin n| \le 1$ для любого действительного $n$. Также, для всех натуральных $n \ge 1$, выполняется $\frac{1}{n} \le 1$. Тогда для модуля члена последовательности получаем оценку: $|x_n| = \frac{|\sin n|}{n} \le \frac{1}{n} \le 1$. Таким образом, для всех $n \ge 1$ выполняется неравенство $|x_n| \le 1$. Это означает, что все члены последовательности лежат в отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, последовательность является ограниченной.
Ответ: да, является.

г) Последовательность задана общим членом $x_n = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1)\right)$. Вычислим несколько первых членов последовательности: $x_1 = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 1 - 1)\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. $x_2 = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 2 - 1)\right) = \text{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$. $x_3 = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 3 - 1)\right) = \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. $x_4 = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 4 - 1)\right) = \text{tg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -1$. Можно заметить, что члены последовательности чередуются: $1, -1, 1, -1, \dots$. Докажем это. Рассмотрим член $x_{n+2}$: $x_{n+2} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2(n+2)-1)\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n+3)\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1+4)\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1) + \pi\right)$. Так как функция тангенса имеет период $\pi$, то $\text{tg}(z+\pi) = \text{tg}(z)$. Следовательно, $x_{n+2} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1)\right) = x_n$. Последовательность является периодической с периодом 2. Множество ее значений состоит из двух чисел: $\{-1, 1\}$. Поскольку все члены последовательности по модулю равны 1 ($|x_n|=1$), она является ограниченной (например, числом $M=1$).
Ответ: да, является.