Номер 37.38, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.38. Дана последовательность $y_n = n^2 - 18n$.

а) Установите, сколько в ней отрицательных членов;

б) найдите наименьший член последовательности;

в) укажите номер члена последовательности, который равен 19;

г) выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

Дана последовательность $y_n = n^2 - 18n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).

а) Установите, сколько в ней отрицательных членов;

Чтобы найти количество отрицательных членов последовательности, необходимо решить неравенство $y_n < 0$ для натуральных значений $n$.

$n^2 - 18n < 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(n - 18) < 0$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ является натуральным числом, а значит $n > 0$. Чтобы произведение было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным:

$n - 18 < 0$

$n < 18$

Таким образом, условию $y_n < 0$ удовлетворяют все натуральные числа $n$, которые меньше 18. Это числа $1, 2, 3, \dots, 17$.

Общее количество таких чисел равно 17.

Ответ: 17.

б) найдите наименьший член последовательности;

Формула $y_n = n^2 - 18n$ представляет собой квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 18n$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине.

Координату вершины параболы по оси абсцисс (в нашем случае по $n$) найдем по формуле $n_{верш} = -\frac{b}{2a}$, где $a=1$ и $b=-18$.

$n_{верш} = -\frac{-18}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

Так как $n=9$ является натуральным числом, то наименьший член последовательности будет именно $y_9$.

Вычислим значение этого члена:

$y_9 = 9^2 - 18 \cdot 9 = 81 - 162 = -81$

Ответ: -81.

в) укажите номер члена последовательности, который равен 19;

Чтобы найти номер члена, который равен 19, нужно решить уравнение $y_n = 19$.

$n^2 - 18n = 19$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - 18n - 19 = 0$

Решим это уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-(-18) = 18$, а их произведение равно $-19$. Подбором находим корни: $n_1 = 19$ и $n_2 = -1$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n_2 = -1$ не является решением задачи.

Следовательно, единственный подходящий номер — это $n=19$.

Ответ: 19.

г) выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку [?15; 2].

Требуется найти количество натуральных чисел $n$, для которых выполняется двойное неравенство: $-15 \le y_n \le 2$.

$-15 \le n^2 - 18n \le 2$

Из пункта б) мы знаем, что наименьшее значение последовательности равно -81 и достигается при $n=9$. Парабола $y=n^2-18n$ симметрична относительно прямой $n=9$. Значения $y_n$ убывают при $1 \le n \le 9$ и возрастают при $n \ge 9$.

Вычислим значения членов последовательности, начиная с $n=1$ и $n=17$ (симметрично $n=1$):

$y_1 = 1^2 - 18 \cdot 1 = 1 - 18 = -17$. Это значение не входит в отрезок $[-15; 2]$.

$y_{17} = 17^2 - 18 \cdot 17 = 17(17-18) = -17$. Это значение также не входит в отрезок.

Для всех $n$ от 1 до 17 значения $y_n$ будут меньше или равны -17 (так как минимум $y_9=-81$). Значит, ни один из этих членов не принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

Проверим следующие по порядку номера $n$:

$y_{18} = 18^2 - 18 \cdot 18 = 0$. Значение $0$ принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

$y_{19} = 19^2 - 18 \cdot 19 = 19(19-18) = 19$. Значение $19$ не принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

Поскольку для $n \ge 9$ последовательность монотонно возрастает, все члены с номерами $n \ge 19$ будут больше 19, и, следовательно, также не будут принадлежать заданному отрезку.

Таким образом, только один член последовательности, $y_{18}$, принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

Ответ: 1.