Номер 37.31, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.31. a) $x_1 = 0, x_{n+1} = x_n + 3, A = 28;$

б) $x_1 = 1, x_{n+1} = 7x_n, A = 285.$

а)

В данном пункте задана последовательность с первым членом $x_1 = 0$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = x_n + 3$. Это определение арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 0$.

Разность прогрессии $d$, равная $x_{n+1} - x_n$, составляет 3.

Общая формула для $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 + (n-1)d$. Подставив наши значения, получаем:

$x_n = 0 + (n-1) \cdot 3 = 3(n-1)$.

Задача состоит в том, чтобы определить, является ли число $A = 28$ членом этой последовательности. Для этого необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$, при котором $x_n = 28$.

Составим и решим уравнение:

$3(n-1) = 28$

Разделим обе части на 3:

$n-1 = \frac{28}{3}$

Выразим $n$:

$n = \frac{28}{3} + 1 = \frac{28}{3} + \frac{3}{3} = \frac{31}{3}$

Полученное значение $n = \frac{31}{3} = 10\frac{1}{3}$ не является натуральным числом, в то время как номер члена последовательности по определению должен быть натуральным ($n \in \mathbb{N}$).

Следовательно, число 28 не является членом данной последовательности. Это также можно заметить, если учесть, что все члены последовательности $x_n = 3(n-1)$ кратны 3, а число 28 на 3 не делится.

Ответ: Число $A=28$ не является членом данной последовательности.

б)

В данном пункте задана последовательность с первым членом $x_1 = 1$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = 7x_n$. Это определение геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = x_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q$, равный $\frac{x_{n+1}}{x_n}$, составляет 7.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив наши значения, получаем:

$x_n = 1 \cdot 7^{n-1} = 7^{n-1}$.

Задача состоит в том, чтобы определить, является ли число $A = 285$ членом этой последовательности. Для этого необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$, при котором $x_n = 285$.

Составим уравнение:

$7^{n-1} = 285$

Чтобы решить это уравнение, проверим, является ли 285 целой степенью числа 7. Вычислим несколько первых членов последовательности:

$x_1 = 7^{1-1} = 7^0 = 1$

$x_2 = 7^{2-1} = 7^1 = 7$

$x_3 = 7^{3-1} = 7^2 = 49$

$x_4 = 7^{4-1} = 7^3 = 343$

Из вычислений видно, что $x_3 = 49$, а следующий член $x_4 = 343$. Так как $49 < 285 < 343$, и последовательность с $q=7>1$ является строго возрастающей, число 285 не может быть одним из её членов.

Следовательно, не существует натурального числа $n$, для которого $x_n = 285$.

Ответ: Число $A=285$ не является членом данной последовательности.