Номер 37.32, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.32. Сколько членов последовательности не превосходят 1:

а) $\frac{1}{3125}, \frac{1}{625}, \frac{1}{125}, \dots$

б) $\frac{6}{377}, \frac{11}{379}, \frac{16}{381}, \dots$

в) $\frac{2}{729}, \frac{2}{243}, \frac{2}{81}, \dots$

г) $\frac{2}{219}, \frac{9}{222}, \frac{16}{225}, \dots ?$

а)

Данная последовательность $a_n$ является геометрической прогрессией. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

$b_1 = \frac{1}{3125}$

$b_2 = \frac{1}{625}$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/625}{1/3125} = \frac{3125}{625} = 5$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $a_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим наши значения: $a_n = \frac{1}{3125} \cdot 5^{n-1} = \frac{1}{5^5} \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1-5} = 5^{n-6}$.

Теперь решим неравенство $a_n \le 1$:

$5^{n-6} \le 1$

Поскольку $1 = 5^0$, получаем:

$5^{n-6} \le 5^0$

Так как основание степени $5 > 1$, то неравенство для показателей будет иметь тот же знак:

$n-6 \le 0$

$n \le 6$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \ge 1$), то решениями являются $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Всего 6 членов последовательности не превосходят 1.

Ответ: 6.

б)

Рассмотрим последовательности числителей и знаменателей отдельно.

Последовательность числителей $c_n$: 6, 11, 16, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 6$ и разностью $d_c = 11-6=5$. Формула n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d_c = 6 + (n-1)5 = 5n+1$.

Последовательность знаменателей $d_n$: 377, 379, 381, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 377$ и разностью $d_d = 379-377=2$. Формула n-го члена: $d_n = d_1 + (n-1)d_d = 377 + (n-1)2 = 2n+375$.

Таким образом, формула n-го члена исходной последовательности: $a_n = \frac{c_n}{d_n} = \frac{5n+1}{2n+375}$.

Решим неравенство $a_n \le 1$:

$\frac{5n+1}{2n+375} \le 1$

Поскольку $n \ge 1$, знаменатель $2n+375$ всегда положителен. Можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака:

$5n+1 \le 2n+375$

$3n \le 374$

$n \le \frac{374}{3}$

$n \le 124\frac{2}{3}$

Так как $n$ — натуральное число, то оно может принимать значения от 1 до 124 включительно. Всего 124 члена.

Ответ: 124.

в)

Данная последовательность $a_n$ является геометрической прогрессией. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

$b_1 = \frac{2}{729}$

$b_2 = \frac{2}{243}$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2/243}{2/729} = \frac{729}{243} = 3$.

Формула n-го члена: $a_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{2}{729} \cdot 3^{n-1} = \frac{2}{3^6} \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-7}$.

Решим неравенство $a_n \le 1$:

$2 \cdot 3^{n-7} \le 1$

$3^{n-7} \le \frac{1}{2}$

Заметим, что $3^{-1} = \frac{1}{3}$, а $3^0 = 1$. Поскольку $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1$, то показатель степени $n-7$ должен быть меньше или равен -1.

$n-7 \le -1$

$n \le 6$

Поскольку $n$ — натуральное число, решениями являются $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Всего 6 членов.

Ответ: 6.

г)

Рассмотрим последовательности числителей и знаменателей отдельно.

Последовательность числителей $c_n$: 2, 9, 16, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 2$ и разностью $d_c = 9-2=7$. Формула n-го члена: $c_n = 2 + (n-1)7 = 7n-5$.

Последовательность знаменателей $d_n$: 219, 222, 225, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 219$ и разностью $d_d = 222-219=3$. Формула n-го члена: $d_n = 219 + (n-1)3 = 3n+216$.

Формула n-го члена исходной последовательности: $a_n = \frac{c_n}{d_n} = \frac{7n-5}{3n+216}$.

Решим неравенство $a_n \le 1$:

$\frac{7n-5}{3n+216} \le 1$

Знаменатель $3n+216$ положителен при $n \ge 1$, поэтому умножим на него обе части неравенства:

$7n-5 \le 3n+216$

$4n \le 221$

$n \le \frac{221}{4}$

$n \le 55.25$

Так как $n$ — натуральное число, оно может принимать значения от 1 до 55 включительно. Всего 55 членов.

Ответ: 55.