Номер 37.25, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.25. a) $\frac{3}{4}, \frac{9}{16}, \frac{27}{64}, \frac{81}{256}, \frac{243}{1024}, \dots$;

б) $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots$;

в) $\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}, \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}, \frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}, \frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}, \frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}, \dots$;

г) $\frac{4}{1 \cdot 2 \cdot 3}, \frac{9}{2 \cdot 3 \cdot 4}, \frac{14}{3 \cdot 4 \cdot 5}, \frac{19}{4 \cdot 5 \cdot 6}, \frac{24}{5 \cdot 6 \cdot 7}, \dots$

а) Дана последовательность: $ \frac{3}{4}, \frac{9}{16}, \frac{27}{64}, \frac{81}{256}, \frac{243}{1024}, \dots $

Чтобы найти формулу n-го члена $a_n$, проанализируем числители и знаменатели отдельно.

Последовательность числителей: $3, 9, 27, 81, 243, \dots$ Это степени числа 3: $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, \dots$. Таким образом, числитель n-го члена равен $3^n$.

Последовательность знаменателей: $4, 16, 64, 256, 1024, \dots$ Это степени числа 4: $4^1, 4^2, 4^3, 4^4, 4^5, \dots$. Таким образом, знаменатель n-го члена равен $4^n$.

Объединяя числитель и знаменатель, получаем формулу для n-го члена последовательности: $a_n = \frac{3^n}{4^n} = \left(\frac{3}{4}\right)^n$.

Ответ: $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$

б) Дана последовательность: $ \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots $

Чтобы найти формулу n-го члена $b_n$, проанализируем числители и знаменатели отдельно.

Последовательность числителей: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ Это последовательность нечетных натуральных чисел. Формула для n-го нечетного числа: $2n - 1$.

Последовательность знаменателей: $\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, \dots$. Представим их в виде степеней числа $\sqrt{2}$:
$d_1 = \sqrt{2} = (\sqrt{2})^1$
$d_2 = 2 = (\sqrt{2})^2$
$d_3 = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$
$d_4 = 4 = (\sqrt{2})^4$
$d_5 = 4\sqrt{2} = (\sqrt{2})^5$
Таким образом, знаменатель n-го члена равен $(\sqrt{2})^n$.

Объединяя числитель и знаменатель, получаем формулу для n-го члена последовательности: $b_n = \frac{2n - 1}{(\sqrt{2})^n}$.

Ответ: $b_n = \frac{2n - 1}{(\sqrt{2})^n}$

в) Дана последовательность: $ \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}, -\frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}, \frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}, -\frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}, \frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}, \dots $

Чтобы найти формулу n-го члена $c_n$, проанализируем знак, числитель и знаменатель.

Знаки членов последовательности чередуются: $+, -, +, -, \dots$. Это соответствует множителю $(-1)^{n-1}$, так как для $n=1$ знак положительный.

Последовательность числителей (без учета знака): $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ Это квадраты натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots$. Таким образом, числитель n-го члена равен $n^2$.

Последовательность знаменателей: $\sqrt{1 \cdot 2}, \sqrt{2 \cdot 3}, \sqrt{3 \cdot 4}, \sqrt{4 \cdot 5}, \sqrt{5 \cdot 6}, \dots$. Подкоренное выражение для n-го члена является произведением $n$ и $n+1$. Следовательно, знаменатель n-го члена равен $\sqrt{n(n+1)}$.

Объединяя все компоненты, получаем формулу для n-го члена последовательности: $c_n = (-1)^{n-1} \frac{n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$.

Ответ: $c_n = (-1)^{n-1} \frac{n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$

г) Дана последовательность: $ \frac{4}{1 \cdot 2 \cdot 3}, \frac{9}{2 \cdot 3 \cdot 4}, \frac{14}{3 \cdot 4 \cdot 5}, \frac{19}{4 \cdot 5 \cdot 6}, \frac{24}{5 \cdot 6 \cdot 7}, \dots $

Чтобы найти формулу n-го члена $d_n$, проанализируем числители и знаменатели отдельно.

Последовательность числителей: $4, 9, 14, 19, 24, \dots$ Это арифметическая прогрессия. Её первый член $a_1 = 4$, а разность $d = 9 - 4 = 5$. Формула n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставляя наши значения, получаем: $4 + (n-1) \cdot 5 = 4 + 5n - 5 = 5n - 1$.

Последовательность знаменателей: $1 \cdot 2 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 4, 3 \cdot 4 \cdot 5, \dots$. Знаменатель n-го члена представляет собой произведение трех последовательных натуральных чисел, начиная с $n$. Таким образом, знаменатель n-го члена равен $n(n+1)(n+2)$.

Объединяя числитель и знаменатель, получаем формулу для n-го члена последовательности: $d_n = \frac{5n-1}{n(n+1)(n+2)}$.

Ответ: $d_n = \frac{5n-1}{n(n+1)(n+2)}$