Номер 37.27, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.27. Укажите номер члена последовательности $y_n = \frac{2 - n}{5n + 1}$, равного:

а) $0$;

б) $-\frac{3}{26}$;

в) $-\frac{1}{6}$;

г) $-\frac{43}{226}$.

Для того чтобы найти номер $n$ члена последовательности $y_n = \frac{2-n}{5n+1}$, который равен заданному значению, необходимо приравнять формулу члена последовательности к этому значению и решить полученное уравнение относительно $n$. Важно помнить, что номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

а) 0;
Требуется найти $n$, для которого $y_n = 0$.
Составим уравнение:
$\frac{2-n}{5n+1} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$2 - n = 0 \implies n = 2$.
Проверим условие для знаменателя при $n=2$:
$5n + 1 = 5 \cdot 2 + 1 = 10 + 1 = 11 \ne 0$.
Условие выполняется. Так как $n=2$ является натуральным числом, это искомый номер.
Ответ: 2.

б) $-\frac{3}{26}$;
Требуется найти $n$, для которого $y_n = -\frac{3}{26}$.
Составим уравнение:
$\frac{2-n}{5n+1} = -\frac{3}{26}$
Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:
$26 \cdot (2 - n) = -3 \cdot (5n + 1)$
$52 - 26n = -15n - 3$
Сгруппируем слагаемые с $n$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$52 + 3 = 26n - 15n$
$55 = 11n$
$n = \frac{55}{11}$
$n = 5$.
Так как $n=5$ является натуральным числом, это искомый номер.
Ответ: 5.

в) $-\frac{1}{6}$;
Требуется найти $n$, для которого $y_n = -\frac{1}{6}$.
Составим уравнение:
$\frac{2-n}{5n+1} = -\frac{1}{6}$
По свойству пропорции:
$6 \cdot (2 - n) = -1 \cdot (5n + 1)$
$12 - 6n = -5n - 1$
Сгруппируем слагаемые:
$12 + 1 = 6n - 5n$
$13 = n$.
Так как $n=13$ является натуральным числом, это искомый номер.
Ответ: 13.

г) $-\frac{43}{226}$.
Требуется найти $n$, для которого $y_n = -\frac{43}{226}$.
Составим уравнение:
$\frac{2-n}{5n+1} = -\frac{43}{226}$
По свойству пропорции:
$226 \cdot (2 - n) = -43 \cdot (5n + 1)$
$452 - 226n = -215n - 43$
Сгруппируем слагаемые:
$452 + 43 = 226n - 215n$
$495 = 11n$
$n = \frac{495}{11}$
$n = 45$.
Так как $n=45$ является натуральным числом, это искомый номер.
Ответ: 45.