Номер 37.22, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Составьте одну из возможных формул $n$-го члена последовательности по первым пяти её членам:

37.22. а) -1, -2, -3, -4, -5, ...;

б) 6, 12, 18, 24, 30, ...;

в) 10, 9, 8, 7, 6, ...;

г) 4, 8, 12, 16, 20, ....

а) Дана последовательность: -1, -2, -3, -4, -5, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Можно заметить, что каждый член последовательности равен своему порядковому номеру $n$, взятому с отрицательным знаком.
Для $n=1$, $a_1 = -1$.
Для $n=2$, $a_2 = -2$.
Для $n=3$, $a_3 = -3$, и так далее.
Таким образом, одна из возможных формул n-го члена последовательности: $a_n = -n$.
Ответ: $a_n = -n$.

б) Дана последовательность: 6, 12, 18, 24, 30, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Все члены последовательности кратны 6. Проверим гипотезу, что n-й член равен $6n$.
Для $n=1$, $a_1 = 6 \cdot 1 = 6$.
Для $n=2$, $a_2 = 6 \cdot 2 = 12$.
Для $n=3$, $a_3 = 6 \cdot 3 = 18$, и так далее.
Данная последовательность также является арифметической прогрессией с первым членом $a_1=6$ и разностью $d=6$. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + (n-1)6 = 6 + 6n - 6 = 6n$.
Формула подтверждается. Одна из возможных формул n-го члена: $a_n = 6n$.
Ответ: $a_n = 6n$.

в) Дана последовательность: 10, 9, 8, 7, 6, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Эта последовательность является арифметической прогрессией, поскольку каждый следующий член уменьшается на одно и то же число.
Первый член $a_1 = 10$.
Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 9 - 10 = -1$.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим значения: $a_n = 10 + (n-1)(-1) = 10 - n + 1 = 11 - n$.
Проверим формулу для нескольких членов:
Для $n=1$, $a_1 = 11 - 1 = 10$.
Для $n=2$, $a_2 = 11 - 2 = 9$.
Для $n=5$, $a_5 = 11 - 5 = 6$.
Формула верна. Одна из возможных формул n-го члена: $a_n = 11 - n$.
Ответ: $a_n = 11 - n$.

г) Дана последовательность: 4, 8, 12, 16, 20, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Все члены последовательности кратны 4. Проверим гипотезу, что n-й член равен $4n$.
Для $n=1$, $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$.
Для $n=2$, $a_2 = 4 \cdot 2 = 8$.
Для $n=3$, $a_3 = 4 \cdot 3 = 12$, и так далее.
Данная последовательность также является арифметической прогрессией с первым членом $a_1=4$ и разностью $d=4$. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)4 = 4 + 4n - 4 = 4n$.
Формула подтверждается. Одна из возможных формул n-го члена: $a_n = 4n$.
Ответ: $a_n = 4n$.