Номер 37.17, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.17. а) $y_n = 2\sin \frac{\pi}{6} n;$

б) $y_n = (-1)^n \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n - 1).$

а) Рассмотрим последовательность $y_n = 2\sin(\frac{\pi}{6}n)$.

Для того чтобы определить, имеет ли последовательность предел при $n \to \infty$, исследуем ее поведение. Вычислим несколько первых членов последовательности:

$y_1 = 2\sin(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$y_2 = 2\sin(\frac{2\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$y_3 = 2\sin(\frac{3\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$

$y_4 = 2\sin(\frac{4\pi}{6}) = 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$y_5 = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$y_6 = 2\sin(\frac{6\pi}{6}) = 2\sin(\pi) = 0$

$y_7 = 2\sin(\frac{7\pi}{6}) = 2\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -2\sin(\frac{\pi}{6}) = -1$

... и так далее.

Функция $\sin(x)$ является периодической с периодом $2\pi$. Аргумент синуса в нашей последовательности равен $\frac{\pi}{6}n$. Найдем период $T$ последовательности из условия $\frac{\pi}{6}(n+T) = \frac{\pi}{6}n + 2\pi k$ для некоторого целого $k$.

$\frac{\pi}{6}T = 2\pi k \implies T = 12k$.

Наименьший натуральный период равен $12$ (при $k=1$). Это означает, что значения последовательности циклически повторяются и не стремятся к какому-либо одному числу. Чтобы строго доказать отсутствие предела, рассмотрим две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам.

1. Подпоследовательность с номерами $n_k = 3 + 12k$, где $k = 0, 1, 2, \dots$

$y_{n_k} = 2\sin(\frac{\pi}{6}(3+12k)) = 2\sin(\frac{3\pi}{6} + \frac{12k\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$.

Предел этой подпоследовательности равен $\lim_{k \to \infty} y_{n_k} = 2$.

2. Подпоследовательность с номерами $m_k = 9 + 12k$, где $k = 0, 1, 2, \dots$

$y_{m_k} = 2\sin(\frac{\pi}{6}(9+12k)) = 2\sin(\frac{9\pi}{6} + \frac{12k\pi}{6}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2$.

Предел этой подпоследовательности равен $\lim_{k \to \infty} y_{m_k} = -2$.

Поскольку существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам ($2 \ne -2$), исходная последовательность $y_n$ не имеет предела, то есть расходится.

Ответ: Последовательность расходится (не имеет предела).

б) Рассмотрим последовательность $y_n = (-1)^n \tg(\frac{\pi}{4}(2n - 1))$.

Преобразуем выражение для $n$-го члена последовательности. Аргумент тангенса можно записать как $\frac{\pi}{4}(2n - 1) = \frac{2n\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.

1. Пусть $n$ — четное число, то есть $n = 2k$ для некоторого натурального $k$.

$y_{2k} = (-1)^{2k} \tg(\frac{\pi}{4}(2(2k) - 1)) = 1 \cdot \tg(\frac{\pi}{4}(4k - 1)) = \tg(k\pi - \frac{\pi}{4})$.

Поскольку функция тангенс имеет период $\pi$, то $\tg(k\pi - \frac{\pi}{4}) = \tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Таким образом, для всех четных $n$, $y_n = -1$.

2. Пусть $n$ — нечетное число, то есть $n = 2k - 1$ для некоторого натурального $k$.

$y_{2k-1} = (-1)^{2k-1} \tg(\frac{\pi}{4}(2(2k-1) - 1)) = -1 \cdot \tg(\frac{\pi}{4}(4k - 3)) = -\tg(k\pi - \frac{3\pi}{4})$.

Используя периодичность тангенса, получаем $\tg(k\pi - \frac{3\pi}{4}) = \tg(-\frac{3\pi}{4})$.

Так как $\tg(-x) = -\tg(x)$ и $\tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$, то $\tg(-\frac{3\pi}{4}) = -\tg(\frac{3\pi}{4}) = -(-1) = 1$.

Следовательно, $y_{2k-1} = -1 \cdot (1) = -1$.

Таким образом, для всех нечетных $n$, $y_n = -1$.

Мы показали, что для любого натурального $n$, как четного, так и нечетного, член последовательности $y_n$ равен $-1$.

Следовательно, данная последовательность является постоянной: $y_n = -1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Предел постоянной последовательности равен этому постоянному значению.

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} (-1) = -1$.

Ответ: Последовательность сходится и ее предел равен -1.